1、.第四节函数的单调性、极值与最值?.函数的单调性与一阶导数的关系设函数 f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导.若在(a,b)内f(x)0，且等号只在有限个点处成立，则 f(x)在 a,b 上单调增加.(单调减少的情况对应于 f(x)0 的情况.).例 15.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得()(A)f(x)在(0,)内单调增加.(B)f(x)在(,0)内单调减少.(C)对任意的 x (0,)，有 f(x)f(0).(D)对任意的 x (,0)，有 f(x)f(0).【经典反例】单点处的导数符号不能决定该点邻域内的函数单调性b 站考研数学李艳芳.极值点设函数 f(
2、x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义.若对去心邻域U(x0)内的任一 x，都有f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.利用定义判断极值点极值点与最值点.例 16.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 limx0f(x)xsinx=2，则在x=0 处 f(x)()(A)不可导.(B)可导，且 f(0)=0.(C)取极大值.(D)取极小值.极值的判定条件必要条件设函数 f(x)在 x0处可导，且在 x0处取得极值，则 f(x0)=0.第一充分条件设函数 f(x)在 x0处连续，
3、且在 x0的某去心邻域U(x0,)内可导.(1)若 x (x0,x0)时，f(x)0，而 x (x0,x0+)时，f(x)0，则 f(x)在 x0处取得极大值.(2)若 x (x0,x0)时，f(x)0，则 f(x)在 x0处取得极小值.(3)若 x U(x0,)时，f(x)的符号保持不变，则 f(x)在 x0处没有极值.极值的判定条件第二充分条件设函数 f(x)在 x0处具有二阶导数且 f(x0)=0，f(x0)=0，则(1)当 f(x0)0 时，函数 f(x)在 x0处取得极小值.例 17.当 a 为何值时，函数 f(x)=asinx+13sin3x 在 x=3处取得极值，它是极大值还是极小值，并求出此值.例 18.作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积V 最小，并求出该最小值.?见讲义第四节同步习题.
