1、.第二节 常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的解法(1)求二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 的通解求特征方程 r2+pr+q=0 的根 r1和 r2，然后根据 r1和 r2的情况写出齐次方程的通解.若 r1和 r2为不相等的实根，则 y=C1er1x+C2er2x；若 r1和 r2为相等的实根，则 y=(C1+C2x)er1x；若 r1和 r2为一对共轭复根 i，则 y=ex(C1cosx+C2sinx).(2)用待定系数法求非齐次方程 y+py+qy=f(x)的特解1 当 f(x)=exPm(x)，其中 为常数，Pm(x)是 x 的一个 m 次多项式时，原方程有形如y=x
2、kRm(x)ex的特解，其中 Rm(x)是与 Pm(x)同次的多项式.当 不是特征方程的根时，k=0；当 是特征方程的根时，k 等于 的重数.2 当 f(x)=exPl(x)cosx+Qn(x)sinx，其中，为常数，=0，Pl(x)，Qn(x)分别是 x 的 l 次、n 次多项式，且仅有一个可为零时，原方程有形如y=xkexR(1)m(x)cosx+R(2)m(x)sinx的特解，其中 R(1)m(x)，R(2)m(x)是 m 次多项式，m=maxl,n.当 +i(或 i)不是特征方程的根时，k=0；当 +i(或 i)是特征方程的单根时，k=1.例 7.设函数 y=y(x)在(,+)内具有二
3、阶导数，且 y=0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数.(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)(dxdy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=32的解.n 阶常系数线性微分方程的解法1 由微分方程 y(n)+p1y(n1)+p2y(n2)+pn1y+pny=0 写出相应的特征方程.rn+p1rn1+pn1r+pn=0.2 解出特征方程的根，然后根据特征方程的根，写出其对应的微分方程的解.特征方程的根微分方程的通解中的对应项单实根 r给出一项：Cerx一对单复根 r1,2=i给出两项：ex(C
4、1cosx+C2sinx)k 重实根 r给出 k 项：erx(C1+C2x+Ckxk1)一对 k 重复根 r1,2=i给 出2k项：ex(C1+C2x+Ckxk1)cosx+(D1+D2x+Dkxk1)sinx.例 8.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()(A)y+y 4y 4y=0.(B)y+y+4y+4y=0.(C)y y 4y+4y=0.(D)y y+4y 4y=0.欧拉方程(仅数一要求)形如xny(n)+p1xn1y(n1)+pn1xy+pny=f(x)的方程(其中 p1，p2，pn为常数)，叫做欧拉方程.?见讲义第二节同步习题.
