1、.第四节曲面积分（二）高斯公式设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成.若函数 P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则有(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,或(Px+Qy+Rz)dv=(P cos+Qcos+Rcos)dS.这里 是 的整个边界曲面的外侧，cos，cos，cos 是 在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.例 15.计算axdydz+(z+a)2dxdy(x2+y2+z2)12，其中 为下半球面 z=a2 x2 y2的上侧，a 为大于零的常数.例 16.计算曲面积分 I=!xdydz+ydzdx+zdxdy(x
2、2+y2+z2)32，其中 是曲面2x2+2y2+z2=4 的外侧.散度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中函数 P，Q，R 均具有一阶连续偏导数，是场内一片有向曲面，n 是 在点(x,y,z)处的单位法向量，则积分A ndS 称为向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量(或流量).Px+Qy+Rz叫做向量场 A 的散度，记作 div A.利用向量微分算子=(x,y,z)，A 的散度 div A 也可以表达为 A，即div A=A.例 17.向量场 u(x,y,z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1,1,0)处的散度
3、div u=.斯托克斯公式设 为分段光滑的空间有向闭曲线，为以 为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与 的侧符合右手规则(当右手除拇指外的四指沿 的绕行方向时，拇指所指的方向与 上法向量的指向相同，此时称 是有向曲面 的正向边界曲线).若函数 P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数，则有(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy=Pdx+Qdy+Rdz.可以利用行列式记号把斯托克斯公式写成?dydzdzdxdxdyxyzPQR?=Pdx+Qdy+Rdz.利用两类曲面积分之间的联系，还可以得到斯托克斯公式的另一形式：?cos
4、coscosxyzPQR?dS=Pdx+Qdy+Rdz,其中 n=(cos,cos,cos)为有向曲面 在点(x,y,z)处的单位法向量.例 18.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lxzdx+xdy+y22dz=.思考(2022，一)已知曲线 L 是曲面 :4x2+y2+z2=1，x 0，y 0，z 0 的边界，曲面 方向朝上，曲线 L 的方向和曲面 的方向符合右手法则，计算I=L(yz2 cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz.旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.若 P，Q，R 均具有一阶连续偏导数，则向量(RyQz)i+(PzRx)j+(QxPy)k 称为向量场 A 的旋度，记作 rot A，即rot A=(RyQz)i+(PzRx)j+(QxPy)k.例 19.向量场 A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rot A=.?见讲义第四节同步习题.
