1、.第四章多元函数微分学.1偏导数和全微分的概念与计算.2多元微分的几何应用.3多元函数的极值问题.第一节偏导数和全微分的概念与计算二元函数的偏导数设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当 y 固定在y0而 x 在 x0处有增量 x 时，相应的函数有增量f(x0+x,y0)f(x0,y0)，若limx0f(x0+x,y0)f(x0,y0)x存在，则称此极限为函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x 的偏导数，记作zx?x=x0y=y0，fx?x=x0y=y0，zx|x=x0y=y0或 fx(x0,y0).类似地，可以定义函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处对
2、 y 的偏导数.偏导函数若 f(x,y)在区域 D 内每一点(x,y)处对 x(对 y)的偏导数都存在，则我们能得到一个新的关于 x,y 的二元函数，这个函数在 D 内每一点(x,y)处的值为 f(x,y)在该点处对 x(对 y)的偏导数，我们将这个函数称为 f(x,y)对 x 的偏导函数，记作 fx(x,y).在不引起混淆的时候，我们也可以将偏导函数称为偏导数.可微的定义设函数 z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，若函数在点(x,y)处的全增量 z=f(x+x,y+y)f(x,y)可表示为z=Ax+By+o(),其中 A 和 B 不依赖于 x 和 y，而仅与 x 和 y 有关，=
3、(x)2+(y)2，则称函数 z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，而 Ax+By 称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz，即dz=Ax+By.xyOMNx0f(x0)f(x)x0+DxDxo(Dx)dyDyxyzPNABMOQxyz=z0o()z=f(x?y)dz z(a)(b).可微的判定条件必要条件若函数 z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，则该函数在点(x,y)处的偏导数zx与zy必定存在，且函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分为dz=zxx+zyy.充分条件若函数 z=f(x,y)的偏导数zx，zy在点(x,y)处连续，则函数在该点处可微分.如何
4、判断二元函数 f(x,y)在点(x0,y0)处是否可微1 求 f(x0,y0).2 求函数 f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数 fx，fy.3 若 fx或 fy不存在，则函数 f(x,y)不可微.若 fx，fy均存在，则考察极限lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x x0)fy(x0,y0)(y y0)(x x0)2+(y y0)2.若该极限存在且等于零，则函数 f(x,y)在点(x0,y0)处可微.例 1.二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是()(A)lim(x,y)(0,0)f(x,y)f(0,0)=0.(B)limx0
5、f(x,0)f(0,0)x=0，且 limy0f(0,y)f(0,0)y=0.(C)lim(x,y)(0,0)f(x,y)f(0,0)x2+y2=0.(D)limx0fx(x,0)fx(0,0)=0，且 limy0fy(0,y)fy(0,0)=0.连续性、偏导数的存在性与可微性之间的关系?.例 2.证明：f(x,y)=x2+y2在点(0,0)处连续，但偏导数不存在.例 3.证明：f(x,y)=xyx2+y2,(x,y)=(0,0),0,(x,y)=(0,0).在点(0,0)处偏导数存在，但不连续.例 4.证明：f(x,y)=|xy|在点(0,0)处连续，且偏导数存在，但f(x,y)不可微.例
6、5.证明：f(x,y)=(x2+y2)sin1x2+y2,(x,y)=(0,0),0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)处可微但 fx(x,y)在点(0,0)处不连续.为说明这一点，考虑两个趋于 0 的数列 xn 以及 yn，其中 xn=12n，yn=1(2n+1)，则limn2xncos1x2n=limn212ncos(2n)=limn22n=+,limn2yncos1y2n=limn21(2n+1)cos(2n+1)=limn(2)(2n+1)=.因此，limx02xcos1x2不存在，fx(x,y)在点(0,0)处的极限不存在，从而fx(x,y)在点(0,0)处不连续.同理可说明 fy
7、(x,y)在点(0,0)处不连续.链式法则多元函数与多元函数复合的情形若函数 u=(x,y)及 v=(x,y)都在点(x,y)处具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数 z=f(x,y)，(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有zx=zuux+zvvx,zy=zuuy+zvvy.错误 1把 f1，f2当作常数，忘记使用乘法法则.2fx2=(fx)x=(f1ux+f2vx)x=(f1ux)x+(f2vx)x=f12ux2+f22vx2:.错误 2把 f1，f2当作仅有一个中间变量 x 或 y 的函数.2fx2=(fx)x=(f
8、1ux+f2vx)x=(f1ux)x+(f2vx)x=f11uxux:+f12ux2+f22vxvx:+f22vx2.正确计算过程：2fx2=(fx)x=(f1ux+f2vx)x=.例 6.设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2fu2+2fv2=1，又g(x,y)=fxy,12(x2 y2)，求2gx2+2gy2.例 7.设 u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定：exy xy=2和ex=xz0sinttdt,求dudx.隐函数的偏导数与全微分隐函数存在定理设函数 F(x,y,z)在点 P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数
9、，且 F(x0,y0,z0)=0，Fz(x0,y0,z0)=0，则方程F(x,y,z)=0 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0=f(x0,y0)，并有zx=FxFz,zy=FyFz.上述定理主要考虑隐函数 z=z(x,y)的情形.对 x=x(y,z)，y=y(x,z)，有类似的定理.例 8.设有三元方程 xy z lny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程()(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,
10、z)和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z).求隐函数的(偏)导数或全微分的方法(1)直接求导法.对已知方程(组)两端分别求导数或偏导数，得到新的方程或方程组，从中解得所需导数或偏导数.(2)微分法.对已知方程(组)两端分别微分，解出隐函数的全微分，再写出相应的导数或偏导数.微分法实际上包含了多个偏导数的计算.当题目要求多个偏导数或者全微分时，使用微分法比较方便.(3)利用隐函数存在定理进行计算.例 9.设 z=z(x,y)是由方程 e2yz+x+y2+z=74确定的函数，则dz|(12,12)=.?见讲义第一节同步习题.
