1、1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号是中国发射的第一个地外软着陆探测器和巡视器(月球车)。它的发射对我国航天事业具有重要意义。为解决嫦娥三号软着陆的轨道设计与控制策略问题，本文首先分析各项因素对嫦娥三号轨道的影响，基于合理假设简化模型，建立以月心为坐标原点的球极坐标系，为分析后续问题奠定基础。针对问题 1：考虑到探测器在着陆预备轨道上时距离月面距离较远，此时可将月球与探测器两者组成的系统问题视为两体问题。首先分析系统受力，建立着陆器的归一化质心运动方程，将着陆点满足的约束条件视为终端条件，近日点的约束条件作为初始条件，通过求解运动方程得到近日点与远日点
2、的位置坐标。轨道确定后，根据开普勒第一定律与万有引力定律建立方程组，求得近日点和远日点速度分别为smv/30.16920和smv/01.16141（其余轨道参数见表 1）。针对问题 2：为了满足主减速阶段燃料消耗最小的要求，首先将问题 1 中的运动方程表示为状态方程的形式，按照耗燃最小为优化目标构造哈密顿函数，根据 Pontryagin 极大值原理求出该阶段的最优推力进而确定最优制导率。根据初始条件与终端约束，将最优轨道问题转化成两点边值问题，使用计算机仿真求解，得到主减速阶段各项参数值随时间的变化（图 4）。考虑到快速调整阶段时间很短这一事实，基于该阶段的动力学方程，经过论证，可用主减速阶段
3、的轨道参数计算方法求解这一阶段的轨道参数值。考虑到粗避障段探测器距离月面距离较近，因此重新建立月球平面直角坐标系。为简化问题，将此阶段的探测器的运动分解为垂直月面方向的运动与水平方向的避障运动，垂直方向运动可由动力学方程结合初始条件与终端约束解出；而对于水平方向的避障运动，应用附件 3、4 中的高程图，使用算法找出符合着陆条件的平坦区域（图 10、图 12），为满足匹配跟踪的需要，基于 Lommel-Seeliger光照反射模型，采用 Shape-from-Shading 方法找出大陨石坑坐标并作为特征点，以实现软着陆模拟（图 11）。通过综合计算仿真两个方向上的探测器运动规律，最终得出后三个
4、阶段的着陆轨道与控制策略。针对问题 3：由于在前两问建模过程中忽略月球引力摄动、月球自转等因素，而这些因素可能对轨道参数产生影响，因此，首先从理论上分析这些因素的影响，明确误差产生机理；其次，采用基于自适应模拟退火遗传算法对月球探测器软着陆轨道进行优化，并将其结果与使用 Pontryagin 极大值原理求得的结果进行相互验证，以确定各种方法的误差。最后，使用蒙特卡洛法对嫦娥三号探测器着陆点进行模拟打靶，确定各种扰动因素对探测器着陆点的影响，并使用 SPSS 19.0 软件对着陆点偏差进行统计分析（图 16、图 17），得出在考虑月球和地球引力摄动的情况下，着陆点偏差符合正态分布的结论。对于灵敏
5、度检验，考虑到实际情况，探测器质量偏差，轨道高度、经纬度等偏差都有可能对着陆点产生影响，本文假定其中某项因素改变某一微小值，通过对最终模拟结果的影响，综合判定本文中设计的模型具有较强的鲁棒性。关键词：嫦娥三号；软着陆；轨道设计；Pontryagin 极大值原理；自适应模拟退火遗传算法；蒙特卡洛模拟获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】
6、国赛交流分享群：5444576572一、问题重述1.1 问题背景嫦娥三号是中国发射的第一个地外软着陆探测器和巡视器(月球车)，也是阿波罗计划结束后重返月球的第一个软着陆探测器，是探月工程二期（落）的关键任务，起承上启下的作用。嫦娥三号探测器将突破月球软着陆、月面巡视勘察、月面生存、深空探测通信与遥控操作、运载火箭直接进入地月转移轨道等关键技术。1.2 问题提出嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单
7、位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件 1）。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备-轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段（见附件 2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过
8、程的燃料消耗。根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析2.1 问题的整体分析由于月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且从15km左右的轨道高度软着陆到非常接近月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，所以月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计。因此，可以使用较为简单的二体模型就可以很好地描述这一问题。2.2 问题一的分析根据题意，本
9、文建立以月球为中心的球坐标系，在这一坐标系中，假设月球静止，不考虑月球相对其他天体的相对运动，由于近月点和远月点的高度已经确定，因此，只需要求出近月点和远月点在球坐标系中的方位角和仰角（即这两点的经纬度），这两点便可唯一确定。基于本文的假设，着陆预备轨道和着陆轨道获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657
10、3在同一平面上，且该平面通过月球南北两极，因此，近月点和远月点的经度已经确定，因此只需要确定两点的纬度值。由于近月点与远月点的高度确定，因此，探测器的绕月轨道固定，若只考虑月球引力对探测器的影响，则只需求出探测器在椭圆轨道远月点和近月点的曲率半径便可求出嫦娥三号在两点的大小和方向。基于动力学方程，将初始条件和终端条件代入，便可由着陆点反推出轨道的近月点和远月点等数据。2.3 问题二的分析由附件中资料可知，嫦娥三号探测器软着陆过程分为 6 个阶段，其中第一阶段，即着陆准备轨道阶段为固定轨道，其参数值可以在问题一中求解。该轨道近月点的状态即为软着陆第二阶段的初始状态。软着陆第二阶段可以根据动力学方
11、程，将探测器于月球的相对运动看成两体问题，以耗燃最小为目标，构建哈密顿函数，并基于 Pontryagin 极大值原理，求得最优制导率。将初始条件和终端条件代入最优制导率方程和共轭方程，便可以求解该问题。由分析可知，快速调整阶段时间较短，起到衔接作用，因此，此阶段可用主减速阶段的制导率求解仿真。在粗避障阶段之后的几个阶段，由于月球探测器距离月面距离较近，因此可以建立月面平面坐标系。考虑到嫦娥三号探测器的运动可视为刚体运动，可将其运动分解为质心的平动与探测器绕质心的转动，以简化问题。同时，假设引起探测器的速度变化的力仅由主发动机提供，可将嫦娥三号的平动分解为平行于月面的避障运动与垂直于月面的运动，
12、并根据相应情况求解。2.4 问题三的分析根据模型设计，可从三个方面进行误差分析：由于建模过程中忽略了月球引力摄动，月球表面形状等因素，因此可以从理论上分析这些因素对实际情况产生的影响；可以使用基于自适应模拟退火遗传算法的轨道优化算法 对Pontryagin 极大值原理法得到的结果进行相互验证，从而对比误差；使用蒙特卡洛方法进行模拟打靶实验，确定不同扰动因素对探测器软着陆点的影响，从而得出各项因素产生偏差的分布。对于灵敏度检验，考虑到实际情况，探测器质量偏差，轨道高度、经纬度等偏差都有可能产生影响，可以假定其中某项因素改变某一微小值，通过对最终模拟结果的影响判定模型的鲁棒性。三、基本符号说明符号
13、说明M月球质量r椭圆的曲率半径G万有引力常量获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765740r月球的平均半径1h探测器近地点高度2h探测器远地点高度四、模型假设（1）在探测器距月面较远时，假设月球为一均匀球体；（2）假设着陆预备轨道和着陆轨道在同一平面上，且该平面通过月球南北两极1；（3）以月球中心为原点建
14、立球坐标系，不考虑月球相对于地球与太阳的运动；（4）假设月球引力场均匀，忽略月球自转2；（5）假设月球表面为近似真空环境，不考虑空间中尘埃对探测器的阻力作用；（6）不考虑探测器故障等因素。五、模型建立与求解5.1 着陆坐标系的建立由分析可知，着陆器的动力下降段一般从15km左右的轨道高度开始，下降到月球表面的时间比较短，在几百秒范围内，所以可以不考虑月球引力摄动、月球引力非球项和月球自转速度等，可以利用二体模型描述系统的运动，因此可以建立以月球为中心的球坐标系。由于本文假设着陆预备轨道和着陆轨道在同一平面上，因此可以在该平面上建立着陆极坐标系3，使问题简化（所建坐标系如图1所示）。在图1中，月
15、心O为坐标原点，Oy指向动力下降段的开始制动点，Ox指向着陆器的开始运动方向。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576575图1 月球软着陆的极坐标系图1 月球软着陆的极坐标系5.2 问题一的建模与求解5.2.1 探测器主减速阶段系统模型的建立根据题目分析可知，由于嫦娥三号的预定着陆地点确定，因此，着陆预备
16、轨道的近月点应由预定着陆地点确定。嫦娥三号的着陆过程可分为六个阶段，其中主减速阶段结束后，探测器已基本位于目标（预定着陆地点）正上方，因此，近月点可由主减速阶段的轨道方程与预定着陆地点反推得出。在 5.2.1 中建立的极坐标系下，设Rr为探测器到月心的距离，是Ox与Oy的夹角，)(t是推力方向与Or垂线的夹角；F为制动火箭的推力的大小，则着陆器质心运动方程为4、5：CFmvmFrrrmFvvr2cos1sin22（1）本文用上式表示嫦娥三号主减速阶段的运动规律，假设初始时刻00t，终端时刻ft为任意值。软着陆的初始条件由近月点处的状态确定：000010)0(,)0(,)0(,)0(,)0(mm
17、vvhrr为了在主减速阶段结束的关键点达到所应处的状态，应该满足下列终端条件：fffffftvtvrtr)(,)(,)(其中，0v表示主减速阶段的初始速度，可由万有引力定律算出；fr表示主加速阶段结束的关键点探测器距离月心的距离，smvf/57。在数值计算当中由于状态变化的量级相差较大，在轨道积分的过程中会导致有效位数的损失，通常采取归一化处理来提高计算精度，同时这样处理也令优化变量保持在相同的量级。因此，本文令状态变量4：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取
18、更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576576SPIFmmmvrrvvvvrrr/,/0000（2）其中，SPI为比冲，并且：0200/,/,/rvmFFFFvrtttt（3）则运动方程可以改写为4：SPIFrCFmvmFrrrmFvvr/2cos11sin022（4）则相应的终端约束条件为：0/00vvvrrrffff（5）5.2.2 着陆准备轨道速度的建模与求解根据开普勒第一定律，月球的质心位于探测器椭圆轨道的一个焦点上，设ba,分别为椭圆轨道的长半轴长和短半轴长（如图
19、2 所示）。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576577图 2 着陆预备轨道示意图图 2 着陆预备轨道示意图可以证明，若把月球看成一个均匀球体，则月球对探测器的引力可以等效成一个位于月球中心的与月球质量相同的质点对探测器的引力6。由牛顿运动定律和几何关系可得以下方程组：近月点：21022222021022
20、)(hhracababrrvmhrMmG（6）远月点：21022222122022)(hhracababrrvmhrMmG（7）G为万有引力常量，其值2211/10672.6kgmNG7，M为月球的质量，其值kgM2210349.7，0r为月球半径，其值30107374.1r，r为近月点和远月点椭圆轨道的曲率半径，21,hh表示近月点和远月点探测器距月面的距离。将已知数据分别代入近月点和远月点满足的方程组，可以求得近月点的速度smv/30.16920，远月点速度smv/01.16141。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料
21、关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765785.2.3 近、远月点位置的确定通过文献1可知，软着陆下降轨迹设计有一通用结论：软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。因此，前文关于着陆预备轨道和着陆轨道在同一平面内的假设成立。首先考虑该轨道平面过月球南北两极的情况，再由该情况推出一般情况下的着陆准备轨道的近、远月点位置。首先考虑一般情况下的月球坐标系，坐标系以月球的中心为圆心，可分别建立月心赤道坐标系OXYZ和月
22、心惯性坐标系rrrZYOX，从月心赤道坐标系变换到月心惯性坐标系要经过 4 次旋转：)90()()()180(0XZiXZ。因此，两者之间的变换矩阵为1：)180()()()90(0ZXzXrICiCCCC（8）上式中，0i为着陆预备轨道的轨道倾角，着陆轨道在着陆预备轨道内。为环月预备轨道的升交点赤经，为旋转角，可由式（9）得出。)sin(sinsin909001i（9）在（9）式中，为着陆点L的赤经，为着陆器经过的月心角。月心赤道惯性系下的位置可以表示为TrrrTrITZYXZYX)(C.（10）因此，月心惯性参考系下位置可以表示为：cos,sinsin,cossinrZrYrXrrr（11
23、）由（11）式，可以得出月心赤道惯性系下探测器位置的表示：LLLLLZYXcos,sinsin,cossinrrr（12）其中，r为探测器矢径，L为探测器的赤经；探测器的赤纬为L90，因此，LL,的表达式为1：0,02)/(tan0)/(tan0,0)/(tan111YXXYXXYYXXYL(13)/(cos1rZL(14)由（14）式可求得赤经和赤纬的变化量，计算公式00LLfLLLfL（15）获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公
24、众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576579设软着陆下降点的经纬度为1:LLfLmLLfLt00（16）其中，L和L由（16）式确定，t为软着陆过程所需的时间。由于在本文的假设中，设着陆预备轨道与着陆轨道在同一平面上，且该平面通过月球的南北两极，因此，若不考虑轨道临时修正，则有0L。将终端约束条件（5）及初始速度等条件代入方程（4）、（14）可得：16.15L，由（15）式可知近日点纬度（N）：96.280LLfL（17）同理可知，远日点的纬度值(S)：96.2801LL（18）由于在着陆准备轨道上，
25、探测器速度方向应与轨道相切，因此，在近月点，探测器速度方向与月球极轴（正方向指向月球北极）的夹角96.280，在远月点，探测器速度方向与月球极轴的夹角04.1511。综上计算分析，嫦娥三号探测器着陆预备轨道的参数值如表 1 所示。表 1 嫦娥三号探测器着陆预备轨道参数值表 1 嫦娥三号探测器着陆预备轨道参数值嫦娥三号轨道参数值名称嫦娥三号轨道参数值近月点经纬度（19.51W，28.96N）远月点经纬度（160.49 E，28.96S）近月点高度15 km远月点高度100 km近月点速度大小1692.30 m/s远月点速度大小1614.01 m/s近月点速度方向（与极轴夹角）28.96近月点速度
26、方向（与极轴夹角）151.04嫦娥三号着陆准备轨道在月球表面的位置投影如图 3 所示（基于 STK 软件绘制，月球表面采用墨卡托投影）。图 3 中红色标记为嫦娥三号着陆准备轨道的近日点和远日点，卫星所在位置为预定着陆点。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765710图 3 嫦娥三号着陆准备轨道在月球表面的
27、位置投影图 3 嫦娥三号着陆准备轨道在月球表面的位置投影5.3 问题二的建模与求解5.3.1 主减速阶段的轨道与控制策略由资料分析可知，主减速阶段的持续时间与经过月面时间最长，着陆过程中的绝大多数燃耗都发生在下降段，若只考虑月球非球引力摄动以及地球和太阳的引力摄动，则月球软着陆动力学模型的矢量式可写为1、8ssssseeeemrrrrFrrFr333331111，（19）（17）式中，右边第一项F为推进系统的主动制动力，第二项为月球的中心引力，第三项为月球的非球形引力摄动，第四项和第五项分别为地球和太阳的引力摄动。sem,分别为月心、地心和日心的引力常数。由于月球、地球和太阳的引力摄动影响较小
28、（在误差分析中会证明），因此，为了简便起见，在此忽略这一因素。由于在主减速阶段不能将月面看成平面，故将运动方程（1）表示为状态方程的形式：),(uxfx，（20）（18）式中，系统的状态变量为Tmvrx,，控制变量TFu,。主减速阶段是消耗燃料最多的阶段，因此，可以以耗燃最小为目标，取终端性能指标为4：)(1)()0(ffftmtmmtxJ（21）构造哈密顿函数为：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群
29、：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765711uxfuxHT,（22）其中Tmvr,，满足：xuxH,，（23）即4,9：cossin22022cos2222223rmFmFrvrrrvrmFrvmvrvvvr（24）由（5）式可推出：0)(/)(/)(0ffffftvvtvrrtrG（25）横截条件为：fttfxGxt)(（26）其中为拉格朗日乘子。根据式（22）、（24）可知，若探测器沿着最优轨迹飞行，则0。将式（1）和式（20）联立，并结合0，可以得出：FCrmmrvrrvHmvvvrcossin222（27）根据 Pontr
30、yagin 极大值原理，最优化推力为4,10：0cossin,00cossin,maxCrmmCrmmFFFmvmv（28）由于不受约束，根据变分法极值条件0H，可得4,11：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765712r0*arctan（29）综上所述，最优制导律TFu*,。将最优控制率（29）代入状
31、态方程和共轭方程（24），利用初始条件和终端约束条件对状态方程和共轭方程积分，便可求出主减速阶段的最优轨道，因此，该问题可以转化成两点边值问题的求解。代入初始条件和终端条件，使用计算机仿真得到下列结果：（a）高度（）高度（b）速度）速度（c）发动机推力（）发动机推力（d）姿态角图）姿态角图 4 主减速阶段各参数值随时间变化主减速阶段各参数值随时间变化5.3.2 快速调整阶段的轨道与控制策略快速调整阶段是连接主减速阶段和接近段（粗避障阶段）的一个重要阶段，在该阶段主要完成探测器的姿态调整，以便进入粗避障阶段。在主减速段末期，着陆器姿态接近水平，主发动机推力接近其最大值，因此，推力加速度也最大；但
32、后续的接近段则要求着陆器姿态接近垂直，主发动机在低推力水平工作。因此，主减速段的末端状态与接近段的初始状态很难以衔接上，为了平缓地从主减速阶获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765713段过渡到接近段，需要快速调整着陆器的姿态和推力，以保证接近段初始要求。在快速调整阶段，基于刚体运动的物理学理论，将探测器
33、视为一不可变形的刚体，可以将探测器的运动分解为平动和转动，平动主要是由主发动机提供推力，而转动是靠装载在嫦娥三号四周的 16 个小型调姿发动机控制。由于调姿发动机产生的推力较小，因此可以忽略其对探测器平动速度的影响。在该段中，着陆器距离月面距离已经较近，因此可以将月面看作一个平面而建立月球平面直角坐标系。如图 5 所示。图图 5 月球平面直角坐标系月球平面直角坐标系在如图所示的月球平面直角坐标系中，为了满足快速转换的需要，可以假设反推力的方向与下降速度一直相反。由此可以列出两坐标轴方向的动力学方程1：mmoogmvFWgmFWymvFUmFUx/sin/cos （30）在式（30）中，m为探测
34、器的质量，由于在此阶段功率较小且时间较短，因此，可视为常值；mg为月球表面的重力加速度，为飞行路径角，即下降速度矢量与ox轴的夹角，有22WUv。在下降速度v和垂直于下降速度v的两个方向建立动力学方程1：ucmvggumFvvhmm/sincos/cos（31）在式（31）中，为垂直方向与速度的夹角；常数c为燃料秒消耗量；u为制动力开关量。根据式（31）所示的动力学模型，本文采用开关切换并引入质量不变假设，可得关于切换时间t的二次方程获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457
35、657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：5444576571402220002mFafaafaamFamagavvhhgatgvt（32）其中，aavh00,和fafavh,分别表示该段下降的初始高度与初始速度。通过上述分析可知，在该段实质上是推力大小和方向线性变化的制导率，制导参数可以利用实际的主减速段末端状态和接近段初始状态约束确定。由于主减速段预测快速调整过程时使用的制导率相同，因此快速调整阶段实际上与主减速阶段的轨道预测基本一致，并满足接入端入口状态的约束。因此，可以使用
36、 5.3.1中的运行轨道代替快速调整阶段的运行轨道。5.3.3 接近段（粗避障段）的轨道与控制策略此阶段从距离月面 2400 m 到距离月面 100 m，主要任务是对着陆区进行成像并进行粗避障，以避开大的陨石坑，此阶段终端相对于月面速度接近于 0 m/s。由于此阶段需要保证光学成像敏感器能够对着陆区成像并完成避障，因此接近段知道需要满足制导目标位置、速度、姿态、初始高度和速度等多项约束。（1）垂直方向轨道与控制策略由于粗避障短探测器距离月面很近，因此仍可以使用 5.3.2 中建立的月球平面直角坐标系（图 6）。图图 6 粗避障段月球平面坐标示意图粗避障段月球平面坐标示意图基于 5.3.2 中对
37、着陆器运动的分析，可将嫦娥三号探测器的运动分解为垂直向下的平动和水平方向的平动与转动。其中垂直方向由主发动机提供减速动力，该运动过程符合牛顿运动定律。而水平方向由调姿发动机提供动力，符合刚体转动的物理规律。在理想状态下（不考虑月球引力摄动等因素），竖直方向探测器只受到月球引力与主发动机向上的推力，由于水平方向的运动不会对探测器垂直方向的运动产生影响，因此，垂直方向的运动方程可表达为1,11：mgmuFWy/（33）获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建
38、模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765715在上式中，u是制动推力F的开关控制量，考虑探测器着陆的实际情况，着陆时间很短，因此必须保证着陆器平稳下落，二制动发动机开关对探测器影响很大，所以垂直方向的运动方程改写为：mgmtFWy/)(（34）上式中，)(tF为主发动机推力随时间的变化，代入初始条件与终端条件，通过计算可以得到垂直方向探测器的运行规律（见下图），该阶段持续时间约在120 s130 s 之间。（a）加速度（）加速度（b）速度图）速度图 7 粗避障段垂直方向运动规律仿真图
39、粗避障段垂直方向运动规律仿真图（2）水平方向避障策略水平方向避障和安全着陆的前提是发现障碍和确定安全区，首先，需要对下降中相机拍摄的高程图进行处理，以确定一个平坦的目标着陆区。由于附件中给出的图像的灰度值代表该处的高度，因此，可以使用算法编程找出相对平坦的区域，并在月面找到一个特征点（大陨石坑等）。图图 8 嫦娥三号着陆区与特征点三维示意图嫦娥三号着陆区与特征点三维示意图获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流
40、分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765716图图 9 嫦娥三号着陆区与特征点平面示意图嫦娥三号着陆区与特征点平面示意图如图 8、图 9 所示，在0t时刻，嫦娥三号探测器的位置为点S，B点为嫦娥三号探测器在月面的投影，安全着陆区的中心点为A，它在相机成像的坐标系中的坐标为00,AAvu，相机的焦距为f。那么A点在相机坐标系中方向矢量为12：fvufvutrAAAAccameraSA00220200,1)(（35）上式中下标camera表示相机获得的测量值。设0h为激光测高器给出的当前高度，而根据探测器姿态矩阵bnC和相机安装矩
41、阵cbC可以计算出主光轴与月面铅垂线的夹角0。则探测器（记为S）到A点的位置矢量在相机系下可表示为12：)()cos()(0,000,trhtRccameraSAccameraSA（36）设姿态阵bnC的逆矩阵为nbC，相机安装矩阵cbC的逆矩阵为bcC，则可以将该矢量转化到n系下为：)()(0,0,tRCCtRccameraSAbcnbncameraSA（37）要使嫦娥三号安全着陆，首先要确定安全着陆区 A 的坐标，根据附件中给出的高程图，使用以下步骤寻找安全着陆区。算法算法 1 安全着陆区坐标搜索安全着陆区坐标搜索STEP1：将嫦娥三号在距离月面 2.4km 处对正下方月面 2300m23
42、00m 的范围拍摄的照片（附件三）转化成灰度值矩阵（灰度值为该点的高程值）；获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765717STEP2：将上述灰度值矩阵网格化，分成 529 个 100m100m 方阵；STEP3：将上述 529 个方阵中含有灰度值小于 50 的元素的方阵剔除（避开陨石坑），并将含有灰度值大
43、于 200 的元素的方阵剔除（避开环形山）；STEP4：在剩余方阵中，分别计算每个方阵中灰度值最大与最小元素点的极差，设定阈值为 12，将灰度值极差小于 12 的方阵选出，并对应到相应区域。根据算法 1 编程，可以在正下方月面 2300m2300m 的范围内搜索到 13 个合适的安全着陆区，使用 A1A13 表示（图 10）。图图 10 月面月面 2300m2300m 范围内安全着陆区域范围内安全着陆区域如图 10 所示，图中示出 13 个安全降落区域，这些区域均符合粗避障条件，因此可以随机选定一个区域作为安全降落区域。由于在降落过程中，需要满足后续匹配跟踪的需要，因此还需要在安全着陆区附近选
44、择一个特征点作为路标，该路标即为图 6、图 7 中所示的 P 点，为了更方便地识别这一路标，P 点一般是月面上较为明显的陨石坑，而陨石坑的坐标位置可以使用 Shape-from-Shading 方法（SFS 方法）确定，该方法是求解探测器拍摄图像的反射图方程12，13：yxqyxpRyxI,（38）式中：yxI,是归一化的灰度图像，qpR,是反射模型确定的反射图。假设太阳光为点光源，基于 Lommel-Seeliger 光照反射模型12，月球表面的反射图方程为：eiiyxIcoscoscos2,（39）上式中：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657
45、获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765718 2/120202/12200111cosqpqpqqppi（40）2/1222/122111cosccccqpqpqqppe（41）使用 Shape-from-Shading 方法确定 P 点坐标，假设0t时刻 P 在相机成像坐标系中的像点为00,PPlp，则探测器到 P 位置在n系下表示 0,tRncameraSB可使用上述方法类似得到，
46、因此，特征点 P 到目标着陆点 A 的位置矢量为12，13：0,0,tRtRRncameraSBncameraSAncameraPA（42）在确定着陆区域 A 与特征点 P 之后，可以使用光学匹配跟踪数据对制导过程进行不断修正，并通过卡尔曼滤波法矫正制导过程的误差。水平方向的着陆过程模拟图如下所示。图图 11 水平方向着陆模拟图水平方向着陆模拟图5.3.4 精避障段的轨道与控制策略悬停段主要使用三维成像敏感器对着陆区域进行精障碍检测，给出安全着陆点相对城乡时刻着陆器下点位置。在 5.3.3 中，将探测器的垂直方向和水平方向运动分解，在悬停段，由于探测器水平方向和垂直方向速度均为 0，因此，只需
47、要使用类似于 5.3.3 中的方法，首先确定月面的目标着陆点 A 和特征点 P，在使用光学匹配跟踪数据对制导过程进行修正，最终确定下落轨道。（1）水平方向避障策略基于 5.3.3 中的算法 1，调整相应参数与阈值，在距离月面 100m 的位置拍摄的月面图像中，找出 6 个合适的目标着陆区域，分别用 B1B6 表示（图 12）。获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关
48、资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765719图图 12 月面月面 100m100m 范围内安全着陆区域范围内安全着陆区域（2）垂直方向和水平方向运动分析在精细避障段，垂直方向和水平方向的初始速度为 0，水平方向终端速度为0，以保证在最后一个阶段探测器垂直降落。在竖直方向，若加速度恒定，则发动机先关后开是最简单的方式，但由于要保证探测器的平稳降落，因此，要使发动机推力缓慢变化。垂直方向的运动方程为：mgmtFWy/)(1（43）方程（43）可由 5.3.3 中类似的方法解出，本文将最后两阶段垂直方向的轨道统一在 5.3.5 中进行讨论。5.3.5 缓速下降段的轨道与控制策
49、略由题目分析可知，在该阶段终端点垂直方向速度为 0，而在上一阶段初始垂直速度为 0，因此，本文将这两阶段合并考虑。由于在垂直方向只考虑月球对探测器的引力和探测器主发动机的推力，根据式（33），结合牛顿运动定律，可得开关切换高度：lllllllllaahahavvh1201222220122.（44）将初始条件和中断条件代入式（33）并结合式（44），可以得出下列仿真结果：获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流
50、分享群：544457657获取更多数学建模相关资料关注【公众号：数模加油站】国赛交流分享群：54445765720（a）加速度（）加速度（b）速度图）速度图 13 缓速下降段垂直方向运动规律仿真图缓速下降段垂直方向运动规律仿真图5.4 问题三的建模与求解5.4.1 模型的误差分析（1）嫦娥三号探测器轨道误差理论分析由于嫦娥三号探测器的着陆准备轨道较低，因此对各摄动源的摄动量级进行分析具有十分重要的实际意义。本文在之前的探讨中对月球引力摄动等因素进行了简化，在此重新考虑这些因素的影响。为了便于分析，与地球卫星情况类似，分别采用如下长度，质量和时间单位：)7906.1034min(2465.17)
