1、课时跟踪检测 （十八） 函数的最大（小）值1设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数 D是减函数解析：选Af(x)2，令f(x)0，得x.当x0，当x0时，f(x)0)令f(x)0，解得0x；令f(x).所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)，所以函数f(x)的最大值f().故选B.4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对解析：选Af(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当x0时，f(0)m最大，m3
2、.f(2)37，f(2)5，最小值为37.5函数f(x)x3x2a，函数g(x)x23x，它们的定义域均为1，)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是()A(0，) B(，0)C. D解析：选A设h(x)f(x)g(x)x3x2ax23x，则h(x)x24x3(x3)(x1)，所以当x(1,3)时 ，h(x)单调递减；当x(3，)时，h(x)单调递增当x3时，函数h(x)取得最小值因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有h(x)min0，即h(3)a0，所以a的取值范围是(0，)6已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，
3、则Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.计算f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：327已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解得a；若a1，则最大值为f(1)1234.综上知，a.答案：8已知函数f(x)2ln x(a0)若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2，即a2x22x2ln x.令g(x)2x22x2ln x，x0，则g(x)2x(12ln x)由g(x)0得
4、xe，且当0x0；当xe时，g(x)0，得x；由f(x)0，得1x，所以f(x)在上的最大值为f(1)6，最小值为f.10设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解：(1)f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)，无极大值(2)设
5、g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增，于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)，而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.1已知函数f(x)aexx2(2a1)x，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1,0)C(2，1) D(，0)(0,1)解析：选A令g(x)f(x)aex2x(2a1)若函数f(x)在
6、区间(0，ln 2)上恰有一个最值点，则g(x)在区间(0，ln 2)上存在唯一一个零点g(0)g(ln 2)(a2a1)(2a2ln 22a1)0，即a10，解得a1，此时g(x)aex20恒成立当x0时，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立，设g(x)，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0，则g(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，g(x)0恒成立，实数a的取值范围是(e，)故选D.3已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：f(x)ex2.由f(x)0，得ex20，xln 2.由f(x)0，得xln 2.f(x)在xln 2处取得最小值只要f(x)m
7、in0即可eln 22ln 2a0，a2ln 22.答案：(，2ln 224直线ya分别与曲线y2(x1)，yxln x交于A，B，求|AB|的最小值解：当ya时，2(x1)a，x1.设方程xln xa的根为t，则tln ta，所以|AB|.设g(t)1(t0)，则g(t)，令g(t)0，得t1.当t(0,1)，g(t)0；t(1，)，g(t)0，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，即|AB|的最小值为.5已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值解：函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x).(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.
