1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是()A.(-5,15)B.(-,-5)(15,+)C.(-,4)(13,+)D.(4,13)解析圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离|3-8+m|9+162,解得m15.故选B.答案B2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12解析圆的方程为x2+y2-2x
2、-2y+1=0,可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为|7-b|5=1,得b=2或b=12,故选D.答案D3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是()A.6B.3C.26D.8解析圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.答案A4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为()解析由题意,可得a20,直线y=ax+a2显然过点(0,
3、a2),故ABD均不可能.答案ABD5.已知直线ax+by+c=0(ab0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在解析由题意知,|c|a2+b2=1,a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.答案B6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或53B.-35或32C.-23或23D.-43或-34解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x
4、-2),即kx-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆相切,所以|-3k-2-2k-3|k2+1=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-43,或k2=-34.答案D7.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为.解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|=(3-1)2+(5-1)2=25,由直线PB为圆A的切线,得到ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|=|AP|2-|AB|2=(25)2-22=4.则切线长为4.答案48.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在
5、某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 m.解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A(x0,-3)(x03)代入圆的方程中,得x0=51,所以此时水面宽251 m.答案2519.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
6、解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式,得|k+2k|k2+11,即k218,解得-24kr2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=r2a2+b2(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心.答案C11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32解析设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d.易知d-rdd+r,即2d32.又AB=22,SABP=12|AB|d=2d,2SABP6
7、.答案A12.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为()A.1B.2C.3D.2解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在RtPAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为|3-0-1|2=2.故|PA|的最小值为(2)2-12=1.答案A13.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.2B.212C.22D.2解析圆C: x2+
8、y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,由圆的性质知S四边形PACB=2SPBC.四边形PACB的最小面积是2,SPBC的最小值为1,即12rd=1 (其中d是切线长),d最小值=2.PC的最小值为12+22=5.圆心到直线kx+y+4=0(k0)的距离就是PC的最小值,|1+4|k2+1=5,k=2或k=-2(舍去).故选D.答案D14.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是()A.-1B.-33C.13D.2解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0),半径r=1.
9、直线与圆有公共点,需|k-3k|k2+11,所以|2k|k2+1,得k213,所以-33k33,对照选项知B,C适合.答案BC15.(多选题)(2020广东佛山一中高二上期中)已知圆M:(x+cos )2+(y-sin )2=1,直线l:y=kx,则下列说法正确的是()A.对任意实数k和,直线l和圆M有公共点B.对任意实数,必存在实数k,使得直线l与圆M相切C.对任意实数k,必存在实数,使得直线l与圆M相切D.存在实数k与,使得圆M上有一点到直线l的距离为3解析圆心M(-cos ,sin )到直线l的距离d=|-kcos-sin|k2+(-1)2=1+k2|sin(+)|k2+1=|sin(+
10、)|,其中tan =k.d1,直线l与圆M有公共点,故A正确;当=0时,d=|-k|k2+11恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,故B错误;不论k为何值,d=|sin(+)|=1有解,即存在实数,使得直线l与圆M相切,故C正确;d1,圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,且d+12,故D错误.故选AC.答案AC16.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.解析如图所示,CAB=BAD=30,直线l的倾斜角的取值范围为030或150180.直线l的斜率的取值范围为-33,33.答案-33,3317.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的
11、半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约秒(精确到0.1).解析以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.5t20(x-10),圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得|2.5t-202-t+10|1+(20-2.5t20)21,化为3t2+16
12、t-1280,解得0t87-83,而87-834.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.答案4.418.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0a4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4变化时,求m的取值范围.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0a4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2a.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|4-2a|2=2|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2(
13、2a)2-(2|2-a|)2=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.0-a+m,即2am,2a-m=22a,m=(2a-1)2-1.0a4,02),PQ与圆A相切,|4-3b|b2+42=1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.(2)设P(a,0),Q(0,b)(a2,b2),则直线PQ方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.因为PQ与圆A相切,所以|b+a-ab|b2+a2=1,化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;因此PQ=a2+b2=(a+b)2-2ab=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2.因为a2,b2,所以a+b4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2a+b22,解得04,所以a+b4+22,PQ=(a+b)-22+22,当且仅当a=b=2+2时取等号,所以PQ最小值为2+22,此时a=b=2+2.答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为(2+2)千米时,新建公路PQ最短.8
