1、专题突破练2函数的图象与性质一、单项选择题1.(2021北京通州一模)下列函数中,是偶函数且值域为0,+)的是() A.f(x)=x2-1B.f(x)=x12C.f(x)=log2xD.f(x)=|x|2.(2021云南昆明月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)=2x+a,-1x0,|3-x|,0x1,其中aR.若f(-5)=f(4.5),则a=()A.2.5B.3.5C.4.5D.5.53.(2021福建厦门月考)已知函数f(x)=1-loga(x+2),x0,g(x),x0,cosx,x0的图象上关于原点O对称的点有()对.A.2B.3C.4D.56.(2
2、021山东青岛一模)已知y=f(x)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若x0,1时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.27.(2021吉林长春模拟)已知函数f(x)=2exex-e-x与函数g(x)=-x3+12x+1的图象交点分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pk(xk,yk)(kN*),则(x1+x2+xk)+(y1+y2+yk)=()A.-2B.0C.2D.4二、多项选择题8.(2021重庆八中月考)已知函数f(x)的定义域为(1,+),值域为R,则()A.函数f(x2+1)的定义域为RB.函数f(x2+1)-1的值域为RC.函
3、数fex+1ex的定义域和值域都是RD.函数f(f(x)的定义域和值域都是R9.(2021山东潍坊二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在区间0,2上单调递增,则下列说法正确的是()A.f(x)的周期是4B.f(2)是函数的最大值C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D.f(x)在区间2,6上单调递减10.(2021山东威海期中)已知函数f(x)=(x+1)2+x3x2+1,则下列说法正确的是()A.函数f(x)图象的对称中心是点(0,1)B.函数f(x)在R上是增函数C.函数f(x)是奇函数D.方程f(2x-1)+f(2x)=2的解为x=14三、填空题11.
4、(2021四川成都月考)已知函数f(x)=sinx,x0,f(-x),x4,则实数a的取值范围是.专题突破练2函数的图象与性质1.D解析 对于A,f(x)=x2-1为偶函数,但值域为-1,+),故A不符合题意;对于B,f(x)=x12的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,f(x)=log2x的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D,f(x)=|x|为偶函数,且值域为0,+),故D符合题意.2.C解析 因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(-5)=f(-1)=a-2,f(4.5)=f(0.5)=2.5.因为f(-5)=f(4.
5、5),所以a-2=2.5,故a=4.5.3.B解析 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即1-loga2=0,解得a=2.所以f(x)=1-log2(x+2),x0,g(x),x0.所以方程g(x)=2,即当x0时,f(x)=g(x)=2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-g(x)=-2,所以当x0时,有1-log2(-x+2)=-2,整理得log2(2-x)=3,解得x=-6.综上,方程g(x)=2的根为-6.4.A解析 由题中图象关于原点对称,可知函数f(x)为奇函数,排除选项C,D,对于选项B中的函数,f(x)=12+cos x,当0x0,故f(x)在区间0,23上单调
6、递增,故选项B不符合.故选A.5.B解析 依题意,函数图象上关于原点O对称的点的对数,即为g(x)=log4x与h(x)=-cos x图象交点的个数.如图,由于g()=log4log44=1,h(3)=1,故函数f(x)的图象上关于原点O对称的点有3对.6.C解析 f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,f(0)=0且f(-x)=-f(x).x0,1时,f(x)=log2(x+a),log2(0+a)=0,解得a=1,x0,1时,f(x)=log2(x+1).y=f(x+1)为偶函数,y=f(x+1)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)=f(2-x),f(x)=
7、f(2-x)=-f(x-2),f(x+2)=-f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为4.f(2 021)=f(1)=log22=1.7.D解析 由于f(x)=2exex-e-x=ex+e-xex-e-x+1,而y=ex+e-xex-e-x是奇函数,所以函数f(x)=ex+e-xex-e-x+1的图象关于点(0,1)对称.因为y=-x3+12x是奇函数,所以函数g(x)=-x3+12x+1的图象关于点(0,1)对称.因为f(x)=-4e2x(e2x-1)20,所以f(x)在区间(-,0),(0,+)上单调递减.因为g(x)=-3(x2-4),所以函数g(x)在区间
8、(-,-2),(2,+)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增.画出函数f(x)和g(x)的大致图象(图略),由图可知,f(x)与g(x)的图象有4个交点,不妨设x1x2x31可得x0,所以f(x2+1)的定义域为x|x0,故选项A不正确;对于选项B,因为f(x)值域为R,x2+11,所以f(x2+1)的值域为R,可得f(x2+1)-1的值域为R,故选项B正确;对于选项C,因为ex+1ex=1+1ex1对xR恒成立,所以fex+1ex的定义域为R,因为ex+1ex1,所以fex+1ex的值域为R,故选项C正确;对于选项D,若函数f(f(x)的值域是R,则f(x)1,此时无法判断其定义域是否为
9、R,故选项D不正确.9.BD解析 由于f(x)是奇函数,f(2+x)=f(2-x),所以f(2+x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),因此函数f(x)是周期为8的周期函数,故A项错误;由题意,知f(x)的图象关于直线x=2对称,且在区间0,2上单调递增,所以f(x)在区间2,4上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间-4,-2上单调递减,在区间-2,0上单调递增,所以f(2)是函数f(x)的最大值,f(x)的图象关于直线x=-2对称,不关于点(-2,0)对称,在区间2,6上单调递减,故B正确,C错误,D正确.10.ABD解析 由于
10、f(x)=(x+1)2+x3x2+1=x2+2x+1+x3x2+1=1+2x+x3x2+1,对于选项A,设g(x)=2x+x3x2+1,则f(x)=1+g(x),g(-x)=-2x-x3x2+1=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点成中心对称,因此f(x)=1+g(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,即点(0,1)是函数f(x)图象的对称中心.故A正确.对于选项B,由f(x)=1+2x+x3x2+1,则f(x)=x2+x4+2(x2+1)20,所以函数f(x)在R上是增函数,故B正确.对于选项C,f(1)=52,f(-1)=-12,则f(1)-f(-1),所以函数f(x)不是奇函数,故C不正确;对于选项D,由选项A知,f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,所以由方程f(2x-1)+f(2x)=2,得2x-1+2x=0,解得x=14,所以D正确,故选ABD.11.12解析 因为-64,即f(-a)+f(2a-3)f(a)+f(-a),所以f(2a-3)f(a),由于y=x|x|在R上单调递增,因此f(x)在R上单调递增,所以2a-3a,解得a3,即实数a的取值范围为(3,+).5
