1、第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.(x+2)6的展开式中x3的系数是()A.20B.40C.80D.160答案D解析(方法一)设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=C6kx6-k2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为C6323=160.(方法二)根据二项展开式的通项的特点,二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为C6323=160.2.(x-2y)10的展开式中x6y4的系数是()A.840B.-840C.210D.-210答案A解析在通项Tk+1=C10kx
2、10-k(-2y)k中,令k=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4的系数为C104(-2)4=840.3.使得3x+1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7答案B解析3x+1xxn展开式中的第k+1项为Cnk(3x)n-kx-32k=Cnk3n-kxn-52k.若展开式中含常数项,则存在nN*,kN,使n-52k=0,故最小的n为5,故选B.4.(2021湖南模拟)(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为()A.80B.-80C.400D.-400答案C解析(x-2)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r(-2)r,令6-r=2,得r=4,
3、则T5=(-2)4C62x2=240x2,令6-r=3,得r=3,则T4=(-2)3C63x3=-160x3,故(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为240+160=400.5.若x0,设x2+1x5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.答案522解析T3=C52x231x2=54x,T4=C53x221x3=52x,故M+N=5x4+52x2258=522当且仅当5x4=52x,即x=2时,等号成立.6.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.答案9解析根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0a0)的展开式中,
4、x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是.答案2解析A=C62(-a)2,B=C64(-a)4,由B=4A知, 4C62(-a)2=C64(-a)4,解得a=2.a0,a=2.16.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.答案-121解析展开式中含x3的项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.17.已知(xcos +1)5的展开式中x2的系数与x+544的展开式中x3的系数相等,则cos =.答案22解析(xcos +1)5展开式中x2的系数为C53cos2.x+544展开式中x3的系
5、数为54C41.由题意可知C53cos2=54C41,cos2=12,cos =22.18.已知x-124xn的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明:展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项.(1)证明由题意得2Cn112=1+Cn2122,即n2-9n+8=0,n=8(n=1舍去).Tk+1=C8k(x)8-k-124xk=-12kC8kx8-k2x-k4=(-1)kC8k2kx16-3k4(0k8,kZ).若Tk+1是常数项,则16-3k4=0,即16-3k=0,kZ,这不可能,展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当16-3k4为整数
6、.0k8,kZ,k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.学科素养创新练19.求x+1x-15的展开式中的常数项.解(方法一)因为x+1x-15=x+1x-15,所以二项展开式的通项为Tk1+1=C5k1x+1x5-k1(-1)k1(0k15,k1Z).当k1=5时,T6=C55(-1)5=-1;当0k15时,x+1x5-k1的展开式的通项为Tk2+1=C5-k1k2x5-k1-k21xk2=C5-k1k2x5-k1-2k2(0k25-k1).因为0k15,且k1Z,k1+2k2=5,所以k1只能取1或3,此时相应的k2值分别为2或1,即k1=1,k2=2,或k1=3,k2=1.所以常数项为C51C42(-1)1+C53C21(-1)3+(-1)=-51.(方法二)因为x+1x-15=x+1x-1x+1x-1x+1x-1,所以常数项为C51xC411x(-1)3+C52x2C321x2(-1)+C55(-1)5=-51.5
