1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第12章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.(数学抽象)2.理解复数的代数形式与三角形式之间的关系.(数学抽象)3.理解复数乘、除运算的三角表示.(数学运算、直观想象),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】1.如图,角的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角和r表示x,y?,图,图,【知识梳理】,一、复数的三角形式,2.任一非零的复数z=a+bi的辐角有无限个值,这些值相差2的整数倍.
2、我们把其中适合于02的辐角的值叫作复数z=a+bi的辐角主值,记作arg z,即0arg z2.辐角有无限多个值,而辐角主值有且仅有一个3.两个非零复数相等,当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.,微判断(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-.(),微练习(2)将下列复数表示为三角形式:-5i;-10;2-2i.,二、复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).这就是说,两个复数相乘,积的模等于这两
3、个复数的模的积,积的辐角等于这两个复数的辐角的和.,2.复数乘法的几何意义,三、复数三角形式除法这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.,课堂篇 探究学习,例1将下列复数表示成三角形式.(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.分析先确定模长及辐角主值,再写成三角形式.,反思感悟 复数的代数形式z=a+bi(a,bR)化为复数三角形式的一般步骤是:,变式训练1将下列复数中的代数形式表示成三角形式,三角形式表示成代数形式.,分析利用复数三角形式的乘法法则计算即可.,反思感悟 两个复数三角形式乘法的法则可简记为
4、“模数相乘,辐角相加”,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1z2zn=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin 2)rn(cos n+isin n)=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n).(2)当z1=z2=zn=z时,即r1=r2=rn=r,1=2=n=,有zn=r(cos+isin)n=rn(cos n+isin n),这就是复数三角形式的乘方法则,即“模数乘方,辐角n倍”.,要点笔记 进行两个复数的三角形式除法运算时,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.,数形结合思想求复数
5、的模及辐角范围典例 若zC,|z-2|1,求|z|的最大、最小值和arg z范围.分析结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.解 由|z-2|1,知z的轨迹为复平面内以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1|z|3,|z|max=3,|z|min=1,设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知AOC=BOC=,说明:本题在求解|z|的最大、最小值时,也可用代数形式,如下:设复数z=x+yi(x,yR),则由|z-2|1得(x-2)2+y21,x2+y24x-3.(x-2)2+y21,(x-2)21,-1x-21,1x3,14x-39,1|z|3.|z|max=3,|z|min=1.,答案 D,2.复数z=-2+2i的三角形式是.,答案 1,解析 原式=cos(-2)+isin(-2)=1.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
