1、高二年级 数学,利用导数判断函数的单调性(2),主讲人 李劲松,清华大学附属中学,若 在某个区间 内可导，则 对 有 在 上单调递增;对 有 在 上单调递减.,【问题1】请同学们回顾函数的单调性和导数的关系.,【问题2】请同学们回顾用“导数法”求函数单调区间的步骤.,【问题3】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,令,解此不等式，得 或.,因此，在区间 和 内是增函数.,【问题3】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,令,解此不等式，得.,因此，在区间 内是减函数.,函数 的图象如图所示：,【问题4】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,令,解此不等式，得.,因此，在区间 内是增函数.,
2、解：,令,【问题4】已知函数，确定函数 的单调区间.,解此不等式，得 或.,因此，在区间 和 内是减函数.,函数 的图象如图所示：,【问题5】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：恒成立，,因此，在 上单调递增.,函数 的图象如图所示：,【问题6】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：恒成立，,因此，在 上单调递减.,函数 的图象如图所示：,【问题7】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,令 解得 或.,(1)当 时，恒成立，,所以 在 上单调递增.,(2)当 时，,令，解得 或，,令，解得，,所以 的递增区间为 和，单调递减区间为.,(3)当 时，,令，解得 或，,令，解得，,所以 的递增
3、区间为 和，单调递减区间为.,综上所述：,(1)当 时，在 上单调递增.,(2)当 时，的单调递增区间为 和，单调递减区间为.,(3)当 时，的单调递增区间为 和 和，单调递减区间为.,函数 的图象如图所示：,【问题8】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,(1)当 时，恒成立，,所以 在 上单调递减.,【问题8】已知函数，确定函数 的单调区间.,解：,(2)当 时，恒成立，,所以 在 上单调递减.,(3)当 时，,令，解得 或，,所以 的递增区间为 和.,(3)当 时，,令，解得，,所以 的递减区间为.,综上所述：,(1)当 时，在 上单调递减.,(2)当 时，的单调递增区间为 和，单调递
4、减区间为.,函数 的图象如图所示：,【问题9】已知函数 的单调递减区间为，求实数 的值.,解：函数 的单调递减区间就是 的解集，由问题8可知：,(1)当 时，在 上单调递减.这与函数 的单调递减区间为 矛盾，不符合题意.,【问题9】已知函数 的单调递减区间为，求实数 的值.,(2)当 时，的单调递减区间为，即为，所以，解得，经检验符合题意.,综合(1)、(2)知：的值为.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.,解：方法1：由问题8可知：,(1)当 时，在 上单调递减.显然满足区间 上单调递减，所以 符合题意.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范
5、围.,(2)当 时，的单调递减区间为，所以区间 为 的子区间，即，解得.,综合(1)、(2)知：的取值范围为.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.,解：方法2：由题意可知，对任意 恒成立.,当 时，显然恒成立，所以 满足题意.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.,(2)当 时，恒成立，问题等价于，解得.,综合(1)、(2)知：的取值范围为.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.,解：方法3：由题意可知，对任意 恒成立.,当 时，显然恒成立，所以.,【问题10】已知函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.,(
6、2)当 时，不等式等价于 对任意的 恒成立，即.,综合(1)、(2)知：的取值范围为.,【问题11】已知函数 在区间 上不单调，求实数 的取值范围.,解：当 时，显然恒成立，这与 在区间 上不单调矛盾，所以 舍去.,当 时，因为 在区间 不单调，所以必有，即.,【问题12】已知函数 在区间 上存在单调增区间，求实数 的取值范围.,解：当 时，显然恒成立，在区间 单调递减，显然矛盾，所以 舍去.,当 时，问题等价于 在 有解，即.,【问题13】请同学们尝试确定一元三次函数 的单调区间.,解：，方程 的判别式为.,【问题13】请同学们尝试确定一元三次函数 的单调区间.,递增区间：.,递减区间：.,【问题13】请同学们尝试确定一元三次函数 的单调区间.,递增区间：.,递减区间：无.,【问题13】请同学们尝试确定一元三次函数 的单调区间.,递增区间：.,递减区间：无.,【问题13】请同学们尝试确定一元三次函数 的单调区间.,递减区间：.,递增区间：.,
