1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第三章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系对于集合,对于研究空间形式,你要真正的腾飞,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.,知识点拨,一、空间向量运算的坐标表示
2、1.标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基i,j,k,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基i,j,k下的坐标,记作:p=(x,y,z).单位向量i,j,k都叫作坐标向量.,2.若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则,也就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,3.空
3、间向量运算的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到:(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);(3)a=(x1,y1,z1),R;(4)ab=x1x2+y1y2+z1z2.,微练习1若a=3i+2j-k,且i,j,k为空间的一个标准正交基底,则a的坐标为.答案(3,2,-1),微思考在空间直角坐标系O-xyz中,向量 的坐标与终点P的坐标有何关系?,提示向量 的坐标恰好是终点P的坐标.,微练习2已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m
4、-n=,(2m)(-3n)=.,答案(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析 m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)(-3n)=(2,-6,10)(6,-6,12)=168.,二、空间向量平行(共线)和垂直的条件我们知道,当b0时,abR,使得a=b.如果设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么当b0时,abR,使得,类似地,可得abab=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.,微练习已知空间向量a=(2,-1),b=(,8,-6),若ab,则=,若ab,则
5、=.,三、空间向量长度与夹角的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量运算的坐标表示,可以得到以下结论:,课堂篇 探究学习,分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将 用基底表示,即得坐标.,反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤如下:,例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).,分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.,(方法1)(p+q)(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14)
6、,p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.,反思感悟 空间向量的坐标运算注意以下几点:(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去起点坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算:(ab)2=a22ab+b2;(a+b)(a-b)=a2-b2.,(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.,分析(1)根据c,设c=,则向量c的坐标可用表示,再利用|c|=3求值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.,反思感悟 向量平行与垂直问题的主要题型(1)平行与垂直的判断
7、;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=b),建立关于参数的方程;最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.,变式训练3已知a=(+1,1,2),b=(6,2m-1,2).(1)若ab,分别求与m的值;(2)若|a|=,且与c=(2,-2,-)垂直,求a.,例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.求:(1)BM,BN的长;(2)BMN的面积.,分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出 的坐标.然后利用模的公式求得BM,B
8、N的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cosMBN,再求出sinMBN的值,然后套用面积公式计算.,解 以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).,反思感悟 向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.,变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos EAF=,EF=.,一题多变空间向量的平行与垂直,延伸探究1若本例中的PQAE改为B1QEQ,其他条件不变,结果如何?,延伸探究2本例中若点G
9、是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GHBD1,试判断点H的位置.,1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b相互垂直,则k的值是(),答案 D,解析 ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,2.已知a=(m,2,-4),b=(3,-4,n),且ab,则m,n的值分别为(),答案 A,解析 因为a=(m,2,-4),b=(3,-4,n),且ab,3.若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则ab=()A.5B.-5C.7D.-1答案 B解析 因为a+
10、b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),所以a=(1,-2,0),b=(-3,1,2).所以ab=1(-3)+(-2)1+02=-5.故选B.,答案 135,5.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)(a+2b)=.答案-212解析 因为a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),所以2a-3b=2(4,2,-4)-3(6,-3,2)=(-10,13,-14),a+2b=(4,2,-4)+2(6,-3,2)=(16,-4,0),所以(2a-3b)(a+2b)=(-10,13,-14)(16,-4,0)=-212.,6.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)计算2a-3b和|2a-3b|;(2)求.,解(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8).,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
