1、4.生活中的圆周运动1巩固向心力和向心加速度的知识。2会在具体问题中分析向心力的来源。3会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。1.火车转弯(1)运动特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。(2)轨道设计：弯道处外轨略高(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向圆心。若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供。2汽车过拱形桥3航天器中的失重现象(1)向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供绕地球做匀速圆周运动
2、所需的向心力，mgFNm，所以FNm，故宇航员处于失重状态。(2)完全失重状态：当v时，座舱对航天员的支持力FN0，航天员处于完全失重状态。4离心运动(1)定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动。(2)原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。(3)应用：洗衣机脱水，纺织厂使棉纱、毛线、纺织品干燥，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆，分离血液等。(4)危害：汽车转弯时，若最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，汽车会做离心运动而造成事故。高速转动的砂轮、飞轮，若超过最大转速，会做离心运动致使破裂，造成事故。判一判(1)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。()(2)若弯道处
3、重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处于平衡状态。()(3)水平路面上，车辆转弯时，静摩擦力提供向心力。()提示：(1)铁轨外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。(2)火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。(3)水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由静摩擦力提供向心力。想一想洗衣机脱水的原理是什么？提示：洗衣机脱水时，由于高速转动，水滴需要较大的向心力才能与衣服一起做圆周运动。当转速足够大时，衣服已无法向水滴提供足够大的附着力(作为向心力)，水滴便做离心运动，离开衣服，于是衣服被脱水。课堂任务火车转弯仔细观察下列图片，认真参与“师生互
4、动”。活动1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。活动2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点？若火车的速度为v，轨道平面与水平面之间的夹角应满足什么样的关系，轨道才不受挤压？提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是垂直轨道平
5、面指向弯道的内侧，它的水平分力为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要重力和支持力的合力提供向心力，则FnFmgtanm，所以应满足tan，其中R为弯道半径。活动3：讨论、交流、展示，得出结论。1弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanm，则v0，其中R为弯道半径，为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。2速度与轨道压力的关系(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。(2)当火车行驶速度vv0时，
6、火车对外轨有挤压作用。(3)当火车行驶速度v时，细杆会受到小球的拉力；当小球在最高点的速度v时，细杆会受到小球的压力。规范解答设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mgm得v0 m/s m/s。由于v2.0 m/s，所以小球在P点受到的弹力向下，且随着vP增大，受到向下的弹力增大，A、C错误，D正确。在最低点Q点，由于重力向下，合力即向心力向上，故弹力一定向上，B正确。(多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度为v，则()Av的最小值为Bv若增大，球所需的向心
7、力也增大C当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fnm，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v时，圆管弹力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。例4一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m0.5 kg，水的重心到转轴的距离l50 cm，g取10 m/s2。求：(1)若在最高点水不流出来，
8、求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v3 m/s，求水对桶底的压力大小。(1)如何理解在最高点水不流出来的情形？提示：如果桶在最高点的速度为0或较小，那么水就会在重力作用下流出来，所以桶在最高点必须有一个最小速度，即临界速度，只要当桶在最高点的速度大于或等于临界速度时，水才不会流出来。(2)绳模型中最高点的临界速度是多少？提示：绳模型中物体通过最高点，至少受重力作用，所以向心力最小等于重力。由mgm求出临界速度v。规范解答(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有：mgm则所求速率即为
9、桶的最小速率：v02.24 m/s。(2)在最高点水桶的速率v3 m/s2.24 m/s，水桶能过最高点，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FNmgm代入数据可得：FN4 N由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN4 N。完美答案(1)2.24 m/s(2)4 N绳模型和杆模型中物体做的都是变速圆周运动，在最高点和最低点时都是由物体在竖直方向所受的合力提供向心力。杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确
10、的是(g10 m/s2)()A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析“水流星”在最高点的速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。课堂任务离心运动的理解和应用仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：F合表示什么意思？F合m2r时物体做什么运动？提示：F合是一个物体受到的所有外力的合力。当F合m2r时，合外力等于所需的向心力，物体做匀速圆周运
11、动。活动2：F合0表示什么意思？F合0时，物体会怎样运动？提示：F合0表示物体受到的所有外力的合力为零，相当于不受力，这里相当于物体做圆周运动的向心力突然消失。向心力消失后，物体不再转弯，将沿切线方向飞出做离心运动，如图中线条1。活动3：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力或者合外力大于需要的向心力，物体又会怎样运动？提示：如果物体受的合外力不足以提供所需的向心力，物体会远离圆心做离心运动，如图中线条2。如果合外力大于需要的向心力，物体就会做近心运动，如图中线条3。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1离心运动的理解(1)若F合m2r或F合，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。(2
12、)若F合m2r或F合，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。(3)若F合m2r或F合，物体远离圆心，做离心运动，即“需要”大于“提供”，也就是“提供不足”。若F合0，则物体沿切线方向做直线运动。2几种常见的离心运动例5(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是()A若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动B若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动C若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动D若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动(1)物体做离心运动的
13、条件是什么？提示：物体所受沿轨迹半径方向的合力突然为零或沿轨迹半径方向的合力小于所需要的向心力。(2)离心运动一定是直线运动吗？提示：不一定。离心运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。规范解答若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做曲线运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。完美答案BC离心现象的三点注意事项(1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。(2)做离心运动的物体
14、，并不是沿半径方向向外远离圆心。(3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()A摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D摩托车将沿其半径方向沿直线滑去答案B解析摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动
15、，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。A组：合格性水平训练1(离心运动的理解)关于离心运动，下列说法中正确的是()A物体一直不受外力作用时，可能做离心运动B做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动C做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动D做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动答案D解析物体一直不受外力作用，物体应保持静止状态或匀速直线运动状态，A错误；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力等于向心力，当外界提供的向心力增大时，物体所需的向心力并
16、没有增大，物体将做近心运动，B错误；做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化，物体可能仍做圆周运动，例如变速圆周运动，也可能做近心运动或离心运动，C错误；根据离心运动的条件可知，D正确。2(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是()A航天员仍受重力作用B航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力C航天员处于超重状态D航天员对座椅的压力为零答案ABD解析航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供航天飞机绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，也是重力提供向心力，即mgm，A、B正
17、确；此时航天员不受座椅弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D正确，C错误。3(竖直平面内的圆周运动)秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A在下摆过程中 B在上摆过程中C摆到最高点时 D摆到最低点时答案D解析当秋千摆到最低点时速度最大，由Fmgm知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，D正确。4.(拱形桥问题)在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，如图所示，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是()A玩具车静止
18、在拱桥顶端时的示数小一些B玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些C玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态D玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小答案D解析玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mgFNm，即FNmgmmg，可知玩具车此时处于失重状态，C错误；玩具车静止在拱桥顶端时，示数即总重力，运动通过拱桥顶端时，系统有向下的加速度(向心加速度)，支持力小于总重力，即示数小于总重力，且速度越大，向心加速度越大，示数越小，A、B错误，D正确。5.(汽车转弯问题)在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面
19、比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于()A. B. C. D. 答案B解析设路面的倾角为，根据牛顿第二定律得mgtanm，又由数学知识可知tan，联立解得v，B正确。6.(轻绳模型)(多选)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
20、D小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。7.(轻绳模型)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(
21、)A0 B. C. D.答案C解析由题意知，乘客受到座椅的压力Fmg，则Fmg2mgm，故最高点处速度大小v，C正确。8(拱形桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则()A小汽车通过桥顶时处于失重状态B小汽车通过桥顶时处于超重状态C小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FNmgmD小汽车到达桥顶时的速度必须大于答案A解析由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mgFNm，解得FNm
22、gmmg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FNmgm只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；由mgFNm，FN0，解得v1，D错误。9.(轻杆模型)如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()A.mg的拉力 B.mg的压力C零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mgm，解得v，而 时，故杆对球是支持力，即mgFNm，解得FNmg，由牛顿第三定律，球对杆的压力为mg，故选B。10.(拱形桥问题)如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。
23、一质量为1.0103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力为多大？汽车对桥面的压力是多少？(取g10 m/s2)答案2.5 m/s22.5103 N7.5103 N解析汽车的向心加速度an m/s22.5 m/s2。汽车的向心力Fnma1.01032.5 N2.5103 N。在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，FnmgFN，则FNmgFn1.010310 N2.5103 N7.5103 N，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力F压FN7.5103 N。11(汽车转弯问题)某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为
24、100 m，一赛车和车手的总质量为100 kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600 N。(g取10 m/s2)(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车侧向运动的趋势？答案(1)不会侧滑(2)24 m/s解析(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为Fnm400 N600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanm，解得v24 m/s。B组：等级性水
25、平训练12.(火车转弯问题)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是()A减小内外轨的高度差 B增加内外轨的高度差C减小弯道半径 D增大弯道半径答案AC解析当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fnmgtanm，故v，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。13.(轻杆模型)(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的
26、是()A小球通过最高点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A错误，B正确。小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。14.(轻杆模型)长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg。现让A在竖直平面内绕轻杆另一端O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。(g10 m/s2)(1)A的速率为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s。答案(1)16 N(2)44 N解析以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有mgFm。(1)代入数据v11 m/s，可得F1m2 N16 N，即A受到杆的支持力为16 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。(2)代入数据v24 m/s，可得F2m2 N44 N，即A受到杆的拉力为44 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
