1、2023年中考数学真题知识点汇编之二次函数(解答题一)一解答题（共50小题）1（2023大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yx2上有两点A、B，其中点A的横坐标为2，点B的横坐标为1，抛物线C2：yx2+bx+c过点A、B过A作ACx轴交抛物线C1另一点为点C以AC、12AC长为边向上构造矩形ACDE（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形ACDE，点C的对应点C落在抛物线C1上求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；直线AE交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q当点E为线段PQ的中点时，求m的值；抛物线C2与边ED、A
2、C分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN=2103时，求点C的坐标2（2023徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60得到线段AC，连接BC点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，DEA60（1）求点A、B的坐标；（2）随着点E在线段BC上运动EDA的大小是否发生变化？请说明理由；线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，BDE的面积为 3（202
3、3贵州）如图，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1（1）求抛物线的表达式；（2）如图，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为yx2+2bx+b1（b0），当4x6时，函数y的值总大于等于9求b的取值范围4（2023赤峰）乒乓球被誉为中国国球2023年的
4、世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；（2）当乒乓球到达最高点时，与
5、球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；求满足条件的抛物线解析式；（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练如图，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）5（2023赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为
6、图形M的“梦之点”（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 ；（2）点G（2，2）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ，直线GH的解析式是y2 ，y1y2时，x的取值范围是 ；（3）如图，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点连接AC，AB，BC，判断ABC的形状，并说明理由6（2023辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与
7、销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）506070月销量y（台）908070（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？7（2023辽宁）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EFy轴，交BC于点F，作EHx轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为
8、11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标8（2023湘潭）如图，二次函数yx2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得SPACSABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当QAC是锐角三角形时，求a的取值范围9（2023无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg经市场调查发现每天的
9、销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】10（2023深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB3m，BC4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直
10、线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FLNR0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长11（2023通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c(a0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PDx轴，
11、垂足为D，连接PC如图，若点P在第三象限，且tanCPD2，求点P的坐标；直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，请直接写出四边形PECE的周长12（2023常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为DO为坐标原点，tanACO=15（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACOPBC，求P点的坐标13（2023鄂州）某数学兴趣小组运用几何画板软件探究yax2（a0）型抛物线图象发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，14a）的距离PF，始终等于
12、它到定直线l：y=-14a的距离PN（该结论不需要证明）他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=-14a叫做抛物线的准线方程准线l与y轴的交点为H其中原点O为FH的中点，FH2OF=12a例如，抛物线y2x2，其焦点坐标为F（0，18），准线方程为l：y=-18，其中 PFPN，FH2OF=14【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y=14x2上一点P（x0，y0）（x00）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y=14x2的焦点为F，准线方程为l直线
13、m：y=12x3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线yax2（a0）平移至ya（xh）2+k（a0）抛物线ya（xh）2+k（a0）内有一定点F（h，k+14a），直线l过点M（h，k-14a）且与x轴平行当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）例如：抛物线y2（x1）2+3上的动点P到点F（1，258）的距离等于点P到直线l：y=238的距离请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（1，32）是第二象限内一定点，点P是抛
14、物线y=14x21上一动点当PO+PD取最小值时，请求出POD的面积14（2023长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1m其中m0（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m时，求m的值；（4）当点B在x轴上方时，过点B作BCy轴于点C，连接AC、BO若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为
15、点E、点F，线段BO的中点为D当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值15（2023内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）（1）当1x10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=1
16、10x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）16（2023湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1x3031x60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）1242x（1x60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元（1）直接写出w与x的函数关系式 ；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？17（2023内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+3x+1交y轴于点A，直线y=-13x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于
17、点D，交x轴于点E（1）求点D，E，C的坐标；（2）F是线段OE上一点（OFEF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF221求证：DFC是直角三角形；DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tanPFK1时，求点P的坐标18（2023湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx6（a0）与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）抛物线的解析式为 ；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求CEB的度数；（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接
18、CN，BM，直线CN与BM交于点P当MNBC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由19（2023张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）点D为线段BC上的一动点（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求AOD周长的最小值；（3）如图2，过动点D作DPAC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记PAD与PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值20（2023东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），
19、点C，D在抛物线上设B（t，0），当t2时，BC4（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离21（2023长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1a1x2+b1x+c1与y2a2x2+b2x+c2同时满足a2-c1+（b2+b1）2+|c2a1|0，（b1b2）20230，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x的二次函数y12x2+kx+3与y2mx2+x+
20、n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（rs）始终在关于x的函数y1x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数求函数y2的图象的对称轴；函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F当CDEF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值
21、范围；若不请说明理由22（2023无锡）已知二次函数y=22（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，2）和点C（1，2）（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F求EF的最大值；若AEF中有一个内角是ABC的两倍，求点E的横坐标23（2023菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药学校已定购篱笆120米（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大
22、面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？24（2023菏泽）已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x=-32（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将ABD沿直线AD翻折，得到ABD，当点B恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FGx轴，垂足为G，求
23、FG+2FP的最大值25（2023武汉）抛物线C1：y=x2-2x-8交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线xt（0t4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若BDE与CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点直线y2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由26（2023齐齐哈尔）综合与探究：如图，抛物线yx2+b
24、x+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM2，连接AC，CM（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当SPACSACM时，求点P的坐标；（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与COM相似，请直接写出点Q的坐标；（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A，点C的对应点为点C，在抛物线平移过程中，当 MA+MC的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA+MC的最小值
25、为 27（2023兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长28（2023河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA3m，CA2m，击球点P在y轴上若
26、选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系ya（x1）2+3.2（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式29（2023济宁）如图，直线yx+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D（1）求抛物线的解析
27、式；（2）若0m32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若m32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由30（2023黑龙江）如图，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使得SPBC=12SABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由31（2023绥化）如图，抛物线y1ax2+bx+c的图象经过A（6，0），B（2，0），C（0，6）三点，且一次函数ykx+6的图象经过点B（1）求抛物线和一次函数的解析式；（
28、2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方已知点P的横坐标为m过点P作PDNC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？32（2023吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m0），连接AP
29、，AQ（1）求此抛物线的解析式（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值（3）当PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2当h2h1m 时，直接写出m的值33（2023聊城）如图，抛物线yax2+bx9与x轴交于点A（3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC点P是x轴上任意一点（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图，当点
30、P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PEBC，交AC于点E，作PDBC，垂足为点D当m为何值时，PED面积最大，并求出最大值34（2023郴州）已知抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求PAPC的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tanQDB=12？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由35（2023岳阳）已知抛物线Q1：yx2+bx+c与x轴交于A（3，0），B两点，交y轴于
31、点C（0，3）（1）请求出抛物线Q1的表达式（2）如图1，在y轴上有一点D（0，1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得CPKCHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由36（2023荆州）已知：y关于x的函数y（a2）x2+（a+1）x+b（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a4b，则a的值是 ；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公
32、共点A（2，0），B（4，0），并与动直线l：xm（0m4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E设PBE的面积为S1，CDE的面积为S2当点P为抛物线顶点时，求PBC的面积；探究直线l在运动过程中，S1S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由37（2023温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训
33、练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？38（2023陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON12m，拱高PE4m其中，点N在x轴上，PEON，OEEN方案二，抛物线型拱门的跨度ON8m，拱高PE6m其中，点N在x轴上，PEON，OEEN要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗
34、细忽略不计）方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABCD的面积记为S2，点A，D在抛物线上，边BC在ON上现知，小华已正确求出方案二中，当AB3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小39（2023随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1x30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n，1x20，且x为整数
35、30，20x30，且x为整数销量q（千克）与x的函数关系式为qx+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元（1）m ，n ；（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？40（2023河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：ya（x3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=-18x2+
36、n8x+c+1的一部分（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值41（2023十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒设每盒售价为x元，日销售量为p盒（1）当x60时，p ；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大
37、时，日销售额不是最大”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60x80”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论42（2023绍兴）已知二次函数yx2+bx+c（1）当b4，c3时，求该函数图象的顶点坐标；当1x3时，求y的取值范围；（2）当x0时，y的最大值为2；当x0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式43（2023随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m0）为抛物线上一动点，过点P作PNx轴交直线BC于点M，交x轴于点N（1）直接写出抛
38、物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由44（2023十堰）已知抛物线yax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DEFD交BC于点E，连接EF，当DEF面积是ADF面积的3倍时，求点D的坐标；（3）如图2，点P是抛物
39、线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得GBPHGPBOH，求m的取值范围45（2023永州）如图1，抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PHx轴于H，且x152（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线OP：y=y1x1x交BF于点G，求SBPGSBOG的最大值；（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BCBE，PHFC，求点P的横坐标46（2023邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+c经过
40、点A（2，0）和点B（4，0），且与直线l：yx1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t（1）求抛物线的解析式（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N若0t4，求NED面积的最大值（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标47（2023广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于点A（2，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角
41、三角形，且BFE90，求出点F的坐标；（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由48（2023上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：yax2+bx+c经过点B（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CDx轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式49（2023杭州）设二次函数yax2+bx+
42、1（a0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x10123ym1n1p（1）若m4，求二次函数的表达式；写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围50（2023湖北）加强劳动教育，落实五育并举孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200x700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2（1）当x m2时，y35元/m2；（2）设2023年
43、甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？2023年中考数学真题知识点汇编之二次函数(解答题一)参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1（2023大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yx2上有两点A、B，其中点A的横坐标为2，点B的横坐标为1，抛物线C2：yx2+bx+c过点A、B过A作ACx轴交抛物线C1另一点为点C以AC、12AC
44、长为边向上构造矩形ACDE（1）求抛物线C2的解析式；（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形ACDE，点C的对应点C落在抛物线C1上求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；直线AE交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q当点E为线段PQ的中点时，求m的值；抛物线C2与边ED、AC分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN=2103时，求点C的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力【分析】（1）根据题意得出点A（2，4），B（1，1），利用待定系数法求解析式即可求解（2）根据平移的性质得出C（2m，4n），根据点C的对应点C落在抛物线C1上，可得（2m）24n，即可求解根据题意得出P（2m，m2+4m+4），Q（2m，m22m+4），求得中点坐标，根据题意即可求解作辅助线，利用勾股定理求得MG=23，设出N点，M点坐标，将M点代入yx22x+4，求得N点坐标，进而根据点C的对应点C落在抛物线C1上，即可求解【解答】（1）根据题意，点A的横坐标为2，点B的横
