1、第十一章 单元小结单元小结图念概知识梳理边边边(SAA)角边角(ASA)角角边(AAS)边边边(SSS)三角形全等的条件全等图形全等三角形对应元素表示方法全等三角形的性质对应边相等对应角相等直角三角形全等的条件斜边、直角边(HL)应用三角形解决问题技巧归纳技巧一、巧用隐含条件解决三角形全等问题 1.公共边 【例1】如图11-1,AD/BC且AD=BC,试问ACD与CAB全等吗?为什么?图11-1分析:通过AD/BC,可得出DAC=BCA,两个三角形有一边一角对应相等了,再加上公共边AC=CA,就可证出两个三角形全等解:因为AD/BC所以DAC=BCA在ACD和CAB中 AD=BCDAC=BAC
2、AC=CA所以ACDCAB(SAS)技巧点拨:解题的过程中我们先观察一下,两个三角形有没有公共边,如果有的话就是具备了一组对边相等.2.公共角【例2】如图11-2,AB=AC,B=C,试问AD与AE相等吗?图11-2分析:AD与AE分别在ADB和AEC中,要证明AD=AE,必须证明这两个三角形全等,已经有一边一角对应相等,再加上公共角A,就可以判定这两个三角形全等解:AD与AE 相等理由如下:在ADB和AEC中B=CAB=ACA=A所以ADBAEC(ASA)所以AD=AE(全等三角形的对应边相等)技巧点拨:在一些复杂的图形中经常会出现两个三角形具有公共角,此时可以围绕这个角构造出两个全等的三角
3、形解决问题.3.对顶角【例3】要测出一池塘两端A、B的距离,如图11-3,设计如下方案:先在平地上取一点可以直接到达A、B的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC,连接BC并延长到E,使CE=BC,最后测出DE的长即为A、B之间的距离,为什么?图11-3ABCDE分析:已知两边对应相等,再找夹角根据对顶角相等,用SAS公理即可证明两个三角形全等解:在ABC和DEC中AC=CDACB=DCEBC=CE所以ABCDEC(SAS)所以AB=DE(全等三角形的对应边相等)技巧点拨:在出现交叉型的图形时,通过会出现一组对顶角,然后围绕这组对顶角构造全等三角形解决问题.4.客观规律 【例4】中午12点时,
4、操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿,如图11-4,它们的影长相等吗?图11-4分析:这道题已知AB=,ABC= =90,还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行的解:因为AC/所以ACB=在ABC和中ABC=90ACB=AB= 所以ABC(AAS)所以AB= 即它们的影长相等技巧点拨:客观规律要根据题目的实际情况去运用光的反射规律,即反射角等于入射角也是常用的客观规律之一技巧二、巧用全等解决开放型问题1. 条件开放型【例5】如图11-5,ABAC,要使ABEACD,应添加的条件是_ (添加一个条件即可)EABCD图11-5分析:挖掘出公共角的隐含条件,这样就具备一组边和一组角,
5、再添上角的另一边对应相等或一组角相等就可以了.解:答案不唯一依据三角形全等的判定方法并结合图形可填上:BC,或AEAD,或AEBADC等等技巧点拨:这是一道条件开放型题目,求解时,除了要认真分析题意外,还要细心观察图形特征,充分挖掘隐含条件另外还要不能陷入“角角角(AAA)”和“边边角(SSA)”的怪圈,造成错解,2. 结论开放型 【例6】如图11-6,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上,且过A、B两点分别作直线的垂线,垂足分别为D、E,请你仔细观察后,在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程l图11-6CBEFDA分析:根据两条垂线得到ACD与CBE一组角相等,根据ABC是
6、等腰三角形得到ACD与CBE一组边相等,再根据同角的余角相等得到CADBCE.解:ACDCBE证:由题意知CAD+ACD90,ACD+BCE90,所以CADBCE,又ADCCEB90,AC=CB,所以ACDCBE技巧点拨:处理这类问题一定要根据题意,结合图形特征,依据全等三角形的判定方法,才能使问题获解技巧三、巧用全等解决实际问题1. 说理题【例7】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角,如图11-7,AOB是一个任意角,在OA、OB边上分别取OD=OE,移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合,这时过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线,你能说明其中的道理吗?图11-7OABPDE分析:
7、要想说明OP是角平分线,就要证明AOP=BOP,然后将这两个角转化到两个三角形中,证明两个三角形全等.解:根据题意得OE=OD,PE=PD,在POB和POD中,所以POEPOD(SSS),所以AOP=BOP,即射线OP就是AOB的平分线温馨提示:解决这类问题时,关键是要仔细阅读题目,根据题意,抓住相等的量,先证明三角形全等,在证明三角形全等时,一定要利用好条件,不能任意造条件和结论2.操作题【例8】如图11-8,小明为了测量河的宽度,他先站在河边的C点面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点,然后他姿态不变原地转了180,正好看见他所在岸上的一块石头B点,他度量了BC=30米,你能猜
8、出河有多宽吗?图11-8BACD分析:这个题目关键是设计三角形全等,这一过程正好得到两个ACD和BCD,且有ACD=BCD=90,ADC=BDC(因为小明的视线角度没变),易证ACDBCD,所以AC=BC=30m解:河宽30米,理由如下:因为小明姿态不变原地转了180,所以ACD=BCD=90,因为帽檐的位置没动,所以帽檐与小明自身的角度不变,即ADC=BDC,在ACD和BCD中,所以ACDBCD,所以AC=BC=30m技巧点拨:对于这种操作类的问题,我们要学会构造全等三角形来解决实际问题.3. 判断题【例9】某校二(4)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A、B的距离,设计了如下方案:如图11
9、-9-1先在平地取一个可以直接到达A、B的点C,可连结AC、BC,并延长AC到D、BC到E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的距离即为AB之长如图11-9-2先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,测出DE的长即为A、B的距离.阅读后回答下列问题:方案是否可行? ,理由是 方案是否切实可行? ,理由是 方案中作BFAB,EDBF的目的是 ;若仅满足ABD=BDE90,方案是否成立? ABCDEABCDEF图11-9-1图11-9-2分析:本题让我们了解测量两点之间的距离的设计方案不只一种,只要符合三角形全等的条件,方
10、案的操作性很强,需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施答案:可行,边角边;可行,角边角;使ABC=EDC,仍成立温馨提示:对于操作类的题目,在构造全等三角形的时候要抓住对顶角的隐含条件.技巧四、巧作辅助线构造全等三角形 【例10】如图11-10,AB=AE,C=D,BC=ED,点F是CD的中点,则AF平分BAE,为什么?图11-10分析:要说明AF平分BAE,就是说明BAF=EAF,我们可考虑将他们放到两个三角形中,先说明这两个三角形全等。故连接BF、EF,而要说明ABFAEF,条件还不够,而由已知可得BCFEDF,由它可得BF=EF,从而使问题解决。解:连接BF、EF,因为点F是CD的中点,所以CF=DF,在BCF和EDF中,BC=ED,C=D,CF=DF,所以BCFEDF(SAS),所以BF=EF,在ABF和AEF中,AB=AE,BF=EF,AF=AF所以ABFAEF(SSS)所以BAF=EAF,所以AF平分BAE。技巧点拨:本题是依据结论(要说明的)来构造全等三角形,但构造出的三角形全等的条件不够,所以需结合条件先判断有无其它的三角形全等,再说明构造的两个三角形全等。7