1、7.1.2 三角形的高、中线与角平分线7.1.3三角形的稳定性核心知识扫描1如图7-1-2-1，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的高2如图7-1-2-2，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线3如图7-1-2-3，画A的平分线AD，交A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ABC的角平分线 图7-1-2-1 图7-1-2-2 图7-1-2-34三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性知识点全面突破知识点1：三角形的高（重点、难点）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
2、叫做三角形的高线，简称三角形的高 图7-1-2-4 图7-1-2-5 图7-1-2-6 图7-1-2-7注意：（1）三角形的高线是一条线段（图7-1-2-4）；（2）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点在三角形的内部（如图7-1-2-5）；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外一点（如图7-1-2-6）；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点（如图7-1-2-7）例：如图7-1-2-8，在ABC中，D是BC边上的任意一点，AHBC于H。图中以AH为高的
3、三角形个数为（ ） A3个 B4个 C5个 D6个图7-1-2-8答案：D点拨：AH可看作点A到直线BC的垂线段，因此A、H表示的点必然一个是三角形的顶点，另一个是垂足。显然点A是三角形的顶点，另外两个字母是可从“B、D、H、C”中任取两个字母，所以以AH为高的三角形可以是ABD、ABH、ABC、ADH、ADC、AHC知识点3：三角形的中线（重点、难点）在三角形中，连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.一个三角形有三条中线，这三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心如图7-1-2-9，AD、BE、CF分别是ABC的三条中线图7-1-2-9三角形的每一条中线将三角形分成两
4、个面积相等的三角形理由：如图7-1-2-9，AD是ABC的中线，则ABD和ACD的底BD和CD相等，这两个边上的高都是点A到BC距离，所以ABD和ACD的面积相等例：如图7-1-2-10，ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H（1）ABH的三条高是_，这三条高相交于点_；（2）点A到点B的距离是_的长度，点A到BH的距离是_的长度；（3）_图7-1-2-10答案：（1）HF，AE，BD C（2）线段AB线段AE（3）BCHD CHBF BHCE点拨：图7-1-2-10中，H是ABC三条高的交点，但事实上A点也可看作HBC三条高所在直线的交点，B点可以看作AHC三条高所在直线的交点，C点可以看
5、作AHC三条高所在直线的交点，克服“H是ABC三条高的交点”思维定势，是解决此类问题的关键知识点2：三角形的角平分线（重点、难点）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线三角形有三条角平分线，它们交于一点，如图7-1-2-11，AD、BE、CF分别是ABC的三条角平分线在ABC中，由AD平分BAC（或BADCADBAC）可得AD是ABC的角平分线；反之，如果AD是ABC的角平分线，就有AD平分BAC，或BADCADBAC图7-1-2-11例：如图7-1-2-12，下列说法正确的是（ ） A如图甲，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形
6、B如图乙，已知BADCAD，则射线AD是ABC的平分线C如图丙，已知点D为BC边上的中点，则射线AD是ABC的中线D如图丁，已知ABC中，ADBC于D，则线段AD是ABC的高 甲 乙 丙 丁 图7-1-2-12答案：D点拨：根据三角形的概念，三条线段必须首尾顺次相接，组成的图形才是三角形，图甲中的图形没有首尾顺次相接，所以A项错误；图乙、图丙错误的原因是三角形的中线、角平分线是线段而不是射线知识点4：三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形形状如图7-1-2-13，图7-1-2-14 图7-1-
7、2-13 图7-1-2-14例：根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理（1）用两个钉子把木条固定在墙上；（2）有一个不稳固的凳子，一位同学找来两根木条斜钉在椅子；（3）用三个边长相同的四边形做成挂衣架解：（1）两点确定一条直线；（2）三角形的稳定性；（3）四边形的不稳定性点拨：三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，稳定性有稳定性的好处，不稳定性也不是一无是处，如电动门运用的四边形的不稳定性，如果电动门做成三角形的，那么门就开不了了提升点全面突破提升点1：求作三角形的高例1：如图7-1-2-15，在下面三个三角形中，C分别小于90、等于90、大于90，分别作出三角形的三条高，观察三条
8、高或三条高的延长线交点的位置，你能得出什么结论？图7-1-2-15【答案】如图7-1-2-16，AD、BE、CF是三角形的三条高图7-1-2-16结论：第一个三角形三条高交点在三角形内，第二个三角形三条高交点在直角顶点，第三个三角形三条高延长线交点在三角形外【点拨】求作三角形的高，实际上就是作三角形的一个顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形作钝角的两条夹边上的高时，要将钝角的两条夹边延长检查作出的高是否正确，可检查是否满足下面两个条件：（1）看这条高的一端是否是三角形的顶点；（2）另一端是否垂直于三角形的边提升点2：等分三角形面积技巧例2：如图7-1-2-17，是一块三角形菜地（1）把这块菜
9、地分成面积相等的四块，应怎样分？（2）现要求将这块菜地分成面积为234的三块，且图中的A处是这三块菜地的公共水源，应怎样分？ 图7-1-2-17 图7-1-2-18 图7-1-2-19 图7-1-2-20解：（1）有多种分法，以下几种以供参考：如图7-1-2-18所示，作ABC的BC边上的中线AD，再分别取AB、AC的中点E、F，连结DE、DF，则SBEDSAEDSDFC；图7-1-2-19，取ABC的BC边的四等分点E、D、F，连结AE、AD、AF，则SBEDSAEDSDFC；（2）如图7-1-2-20，量出BC的长度，将BC九等分，然后在BC上依次截取BD、DE、EC，使得BDDEEC=2
10、34由于ABD、ADE、AEC共高，故SABDSADESAEC234点拨：（1）由于三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，要将一个三角形面积4等分，可先将三角形二等分，然后再分别将分得两个三角形再次二等分即可，因此这种方法一共9种，当然还有别的分法，如连接ABC三边的中点，也可以将ABC分成面积相等的四个部分，这种方法用到八年级三角形中位线知识；（2）要使得三个三角形的面积比为234，可以构造同高的三个三角形，同高的三个三角形的底边长之比就等于面积比例3：如图7-1-2-21，ABC中，AD，BE，CF是三条中线，它们相交于点O，请你根据以上条件判断AOF的面积与AOE的面积有什
11、么关系，并说明你的理由图7-1-2-21答：AOF的面积与AOE的面积相等 理由：D、E、F分别为BC、AC、AB的中点 ABD的面积与ACD的面积相等，OBD的面积与OCD的面积相等 OBF的面积与OAF的面积相等，OCE的面积与OAE的面积相等 AOF的面积与AOE的面积相等点拨：三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分，本题中除了AD、CF、BE可以看作中线外，GF、GE、GD也可以看作中线面积相等的两个三角形常见类型：（1）同底等高；（2）等底同高；（3）等底等高；三角形的中线将三角形分成的两个三角形属于等底同高型提升点3：等积法例3：如图7-1-2-22，在ABC中，ABAC
12、。 图7-1-2-22 图7-1-2-23（1）在图上分别画出AB，AC边上的高CF和BE；（2）填空：AC_，AB_；（3）BE_CF（填“”“”或“”）；（4）由此可以得出结论：_【答案】（1）如图7-1-2-23；（2）BE CF；（3）；（4）等腰三角形两腰上的高相等【点拨】等积法是用两种方式求同一个图形的面积，根据面积相等得到一个等式，为解决问题提供便利。提升点4：化多边形为稳定图形例5：要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？【答案】要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上1根木条；五边形木架不变形，至少要再
13、钉上2根木条；六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条；n边形木架不变形，至少要再钉上(n3)根木条【点拨】要将多边形变成稳定图形至少需要多少根木条，可考虑过多边形的一个顶点作对角线，对角线的条数就是最少要钉的木条根数综合能力养成例1：（2011，黄冈中学期中，探究题）如图7-1-2-24，是6个面积为1的小正方形组成的长方形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点可组成多少个面积为1的三角形？请你写出所有这样的三角形图7-1-2-24【答案】共14个，它们分别是：ADE，BDE，AEF，BEF，AFG，BFG，ACG，CDF，CEG，ABD，ABE，ABF
14、，ABG，FAB【点拨】要使得三角形的面积为1，则这个三角形的底为2，高为1；或底为1，高为2底为2，高为1的三角形：DFC，EGC，AED，AEF，BFE，BFG，ABE，ABF；底为1，高为2的三角形（排除重复）：DEB，FGA，ABG，ABD，ACG，ABD分层实战A组基础训练1（知识点1，2，3）下面判断正确的有（ ）平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；三角形的中线、角平分线、高都是线段；一个三角形有三条角平分线和三条中线；直角三角形只有一条高；三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部。 A2个 B3个 C4个 D5个2（知识点1）如图7-1-2-25，在ABC中，EFAC，BD
15、AC，BD交EF于G，则下面说法中错误的是（ ） ABD是ABC的高 BCD是BCD的高 CEG是BEG的高DBE是BEF的高ABDCEFG图7-1-2-253（知识点2，3）一个三角形有_条中线、_条角平分线。4（知识点2）如图7-1-2-26，D、E是边AC的三等分点，图中有_个三角形，BD是三角形_中_边的中线，BE是三角形_中_边上的中线。 图7-1-2-26 5（知识点4）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的对角线加钉了一根木条，这样做的数学道理是_。6（知识点4）要使六边形木架不变形，至少要再钉上_根木条。7（知识点2）在ABC中，ABAC，AC上的中线BD把三角形的周长分为2
16、4cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。B组培优训练1（提升点1）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形2（提升点2）如图7-1-2-27，在ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且4cm2，则的值为（ ）A2cm2 B1cm2 Ccm2 Dcm2图7-1-2-273（提升点2）如图7-1-2-28，在ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC4cm2，求SABE图7-1-2-284（提升点3）（1）如图7-1-2-29，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，EF交AD于点
17、O请问：DO是DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由（2）若将结论与AD是ABC的角平分线、DEAB、DFAC中的任一条件交换，所得命题正确吗？图7-1-2-297.1.2 三角形的高、中线与角平分线7.1.3三角形的稳定性A组基础训练1A，点拨：三角形的中线、角平分线、高都是线段，且都有3条2D，点拨：三角形的高首先是一个垂线段，不能看作垂线段的线段肯定不是三角形的高33；346 ABE AE BCD CD，点拨：找BD是哪个三角形的中线，实际上就是看D点是哪条线段的中点5三角形具有稳定性，点拨：钉一根木条，实际上是将四边形变成了两个三角形63，点拨：过六边形的一个顶点
18、作对角线，能作几条对角线，就要再钉几根木条7这ABAC2x，BCy，则或解得：或三角形的三边长分别为20，20，14或16，16，22B组培优训练1C，点拨：锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直线三角形的高的交点在直角顶点2B，点拨：由于BE、CE分别是ABD、ACD的中线，所以SABESDBE，SACESDCE因此BCE的面积是ABC面积的一半，然后再根据BF是BCE的中线，可得BEF的面积是ABC面积的四分之一3解：AD是ABC的边BC上的中线， SABD=SABC=4=2（cm2） BE是ABD的边AD上的中线， SABE=SABD=2=1（cm2）4解：（1）DO是DEF的角平分线 证明：AD是ABC的角平分线， EAD=FAD DEAB，DFAC， EDAFAD，FDAEAD（两直线平行，内错角相等） EDAFDA DO是DEF的角平分线 （2）所得命题正确- 10-
