1、2015年浙江省湖州市中考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）（2015湖州）5的绝对值为（）A5B5CD2（3分）（2015湖州）当x=1时，代数式43x的值是（）A1B2C3D43（3分）（2015湖州）4的算术平方根是（）A2B2C2D4（3分）（2015湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A6cmB9cmC12cmD18cm5（3分）（2015湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A9B3CD6（3分）（2015湖州）如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交C
2、D于点E，BC=5，DE=2，则BCE的面积等于（）A10B7C5D47（3分）（2015湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）ABCD8（3分）（2015湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tanOAB=，则AB的长是（）A4B2C8D49（3分）（2015湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG若O
3、GDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）ACD+DF=4BCDDF=23CBC+AB=2+4DBCAB=210（3分）（2015湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A，点C关于x轴的对称点为C，交于x轴于点B，连结AB，AA，AC若ABC的面积等于6，则由线段AC，CC，CA，AA所围成的图形的面积等于（）A8B10C3D4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2015湖州）计算：23（）2=12（4分）（2015湖州）放学
4、后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟13（4分）（2015湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示：评分（分）80859095评委人数1252则这10位评委评分的平均数是分14（4分）（2015湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，COD=120，则图中阴影部分的面积等于15（4分）（2015湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，
5、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和16（4分）（2015湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C1=2，且点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是三、解答题（本题有8个小题，共66分）该试题已被管理员删除17（6分）（2015湖州）计算：18（6分）（2015湖州
6、）解不等式组19（6分）（2015湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=2时，y=4，求这个一次函数的解析式20（8分）（2015湖州）如图，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连结DE（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是O的切线21（8分）（2015湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向所占百分比文学
7、鉴赏a科学实验35%音乐舞蹈b手工编织10%其他c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数22（10分）（2015湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的
8、零件总数还多20%按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数23（10分）（2015湖州）问题背景已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点（1）初步尝试 如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等 求证：HF=AH+CF 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=
9、AH，再证HF=MF，从而证得结论成立请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）24（12分）（2015湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线
10、段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a= 求点D的坐标及该抛物线的解析式； 连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围2015年浙江省湖州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）（2015湖州）5的绝对值为（）A5B5CD【考点】绝对值【分析】根据绝对
11、值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案解：5的绝对值为5，故选：B【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是02（3分）（2015湖州）当x=1时，代数式43x的值是（）A1B2C3D4【考点】代数式求值【专题】计算题【分析】把x的值代入原式计算即可得到结果解：当x=1时，原式=43=1，故选A【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键3（3分）（2015湖州）4的算术平方根是（）A2B2C2D【考点】算术平方根【分析】根据开方运算，可得一个数的算术平方根解：4的算术
12、平方根是2，故选：B【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根4（3分）（2015湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A6cmB9cmC12cmD18cm【考点】圆锥的计算【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2即为圆锥的底面半径解：圆锥的弧长为：=24，圆锥的底面半径为242=12，故选C【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；5（3分）（2015湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A9B3CD【考点】标准差；方差【分析】根据标准差是方差的
13、算术平方根，即可得出答案解：数据的方差是S2=3，这组数据的标准差是；故选D【点评】本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数6（3分）（2015湖州）如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则BCE的面积等于（）A10B7C5D4【考点】角平分线的性质【分析】作EFBC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可解：作EFBC于F，BE平分ABC，EDAB，EFBC，EF=DE=2，SBCE=BCEF=52=5，故选C【点评】本题考查了角的平分线的
14、性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键7（3分）（2015湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）ABCD【考点】列表法与树状图法【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可解：列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，两次摸出的球都是黑球的概率为，故选D【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等
15、于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大8（3分）（2015湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tanOAB=，则AB的长是（）A4B2C8D4【考点】切线的性质【分析】连接OC，利用切线的性质知OCAB，由垂径定理得AB=2AC，因为tanOAB=，易得=，代入得结果解：连接OC，大圆的弦AB切小圆于点C，OCAB，AB=2AC，OD=2，OC=2，tanOAB=，AC=4，AB=8，故选C【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键9（3分）（2015湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC
16、的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）ACD+DF=4BCDDF=23CBC+AB=2+4DBCAB=2【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）【专题】压轴题【分析】设O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明OMGGCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BCBMGC=BC2设AB=a，BC=b，AC=c，O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r=（a+bc），所以c=a+b2在RtABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的
17、值，所以BC+AB=2+4再设DF=x，在RtONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CDDF=，CD+DF=即可解答解：如图，设O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，OG=DG，OGDG，MGO+DGC=90，MOG+MGO=90，MOG=DGC，在OMG和GCD中，OMGGCD，OM=GC=1，CD=GM=BCBMGC=BC2AB=CD，BCAB=2设AB=a，BC=b，AC=c，O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r=（a+bc），c=a+b2在RtABC中，由勾股定理可得
18、a2+b2=（a+b2）2，整理得2ab4a4b+4=0，又BCAB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+4=0，解得（舍去），BC+AB=2+4再设DF=x，在RtONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，CDDF=，CD+DF=综上只有选项A错误，故选A【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质10（3分）（2015湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x0，k是不等于0的常数）的图象于点C
19、，点A关于y轴的对称点为A，点C关于x轴的对称点为C，交于x轴于点B，连结AB，AA，AC若ABC的面积等于6，则由线段AC，CC，CA，AA所围成的图形的面积等于（）A8B10C3D4【考点】反比例函数综合题【专题】压轴题【分析】过A作ADx轴于D，连接OA，设A（a，），C（b，），由OADBCO，得到=，根据反比例函数的系数k的几何意义得到SADO=，SBOC=，求出k2=，得到k=，根据SABC=SAOB+SBOC=（）b+=6，列出关于k的方程k2+k12=0，求得k=3，由于点A关于y轴的对称点为A，点C关于x轴的对称点为C，得到OA，OC在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC，
20、CA，AA所围成的图形的面积=SOBC+SOBC+SOAA=10解：过A作ADx轴于D，连接OA，点A是函数y=（x0）图象上一点，设A（a，），点C在函数y=（x0，k是不等于0的常数）的图象上，设C（b，），ADBD，BCBD，OADBCO，=，SADO=，SBOC=，k2=，k=，SABC=SAOB+SBOC=（）b+=6，k2=12，k2+k12=0，解得：k=3，k=4（不合题意舍去），点A关于y轴的对称点为A，点C关于x轴的对称点为C，1=2，3=4，1+4=2+3=90，OA，OC在同一条直线上，SOBC=SOBC=，SOAA=2SOAD=1，由线段AC，CC，CA，AA所围成的
21、图形的面积=SOBC+SOBC+SOAA=10故选B【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）（2015湖州）计算：23（）2=【考点】有理数的乘方；有理数的乘法【分析】根据有理数的乘方，即可解答解：23（）2=8=2，故答案为：2【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义12（4分）（2015湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟【考点】
22、函数的图象【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案解：由纵坐标看出路程是2千米，由横坐标看出时间是10分钟，小明的骑车速度是210=0.2（千米/分钟），故答案为：0.2【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，利用了路程与时间的关系13（4分）（2015湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示：评分（分）80859095评委人数1252则这10位评委评分的平均数是分【考点】加权平均数【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数
23、据的总个数解：这10位评委评分的平均数是：（80+852+905+952）10=89（分）故答案为89【点评】本题考查的是加权平均数的求法本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数的平均数，对平均数的理解不正确14（4分）（2015湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，COD=120，则图中阴影部分的面积等于【考点】扇形面积的计算【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积圆心角是120的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解解：图中阴影部分的面积=22=2=答：图中阴影部分的面积等于故答案为：【点评】考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路
24、是将不规则图形面积转化为规则图形的面积15（4分）（2015湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和【考点】二次函数图象与几何变换【专题】新定义【分析】连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得AO
25、M是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，OA=MA，AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=x2+2x，y=x2+2x（答案不唯一）【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象
26、与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系16（4分）（2015湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C1=2，且点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】压轴题；规律型【分析】延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9
27、C9C10D10的边长解：延长D4A和C1B交于O，ABA2C1，AOBD2OC2，=，AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，=OC2=2OB，OB=BC2=3，OC2=6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：D2OC2D3OC3，=，解得，x1=3，正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：D3OC3D4OC4，=，解得x2=，正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：D4OC4D5OC5，=，解得x=，正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推正方形An1Cn1CnDn的边长为；正方形A9C9C10D
28、10的边长为故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键三、解答题（本题有8个小题，共66分）该试题已被管理员删除17（6分）（2015湖州）计算：【考点】分式的加减法【专题】计算题【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果解：原式=a+b【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（2015湖州）解不等式组 解：解不等式得：x6，解不等式得：x1，不等式组的解集为1x6【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中（2015湖州中考）1
29、9已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=2时，y=4，求这个一次函数的解析式解：设一次函数解析式为y=kx+b，将x=3，y=1；x=2，y=4代入得：，解得：k=1，b=2则一次函数解析式为y=x2【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键（2015湖州）20如图，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连结DE（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是O的切线（1）解：连接CD，BC是O的直径，BDC=90，即CDAB，AD=DB，OC=5，CD是AB的垂直平分线，AC=BC=2OC=10；（2
30、）证明：连接OD，如图所示，ADC=90，E为AC的中点，DE=EC=AC，1=2，OD=OC，3=4，AC切O于点C，ACOC，1+3=2+4=90，即DEOD，ED是O的切线【点评】此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径（2015湖州）21 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）
31、：选择意向所占百分比文学鉴赏a科学实验35%音乐舞蹈b手工编织10%其他c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数解：（1）本次调查的学生总人数是：7035%=200（人），b=40200=20%，c=10200=5%，a=1（35%+20%+10%+5%）=30%（2）文学鉴赏的人数：30%200=60（人），手工编织的人数：10%200=20（人），如图所示，（3）全校选择“科学实验”社团的学生人数：120035%=420（人） （2015湖州）22
32、某工厂计划在规定时间内生产24000个零件若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数 解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有=，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意规定的天数为240002400=10（天）答：原计划每
33、天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有520（1+20%）+2400（102）=24000，解得y=480，经检验，y=480是原方程的根，且符合题意答：原计划安排的工人人数为480人【点评】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率工作时间23（10分）（2015湖州）问题背景已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是
34、线段AF上一点（1）初步尝试 如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等 求证：HF=AH+CF 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=
35、BAC=36，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程） （1）证明（选择思路一）：过点D作DGBC，交AC于点G，如图1所示：则ADG=B，AGD=ACB，ABC是等边三角形，A=B=ACB=60，ADG=AGD=A，ADG是等边三角形，GD=AD=CE，DHAC，GH=AH，DGBC，GDF=CEF，DGF=ECF，在GDF和CEF中，GDFCEF（ASA），GF=CF，GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF；（2）解：过点D作DGBC，交AC于点G，如图2所示：则ADG=B=90，BAC=ADH=30，HGD=HDG=60，AH=GH=GD，
36、AD=GD，根据题意得：AD=CE，GD=CE，DGBC，GDF=CEF，DGF=ECF，在GDF和CEF中，GDFCEF（ASA），GF=CF，GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，=2；（3解：，理由如下：过点D作DGBC，交AC于点G，如图3所示：则ADG=B，AGD=ACB，AB=AC，BAC=36，ACB=B=ADG=AGD=72，ADH=BAC=36，AH=DH，DHG=72=AGD，DG=DH=AH，ADGABC，ADGDGH，=m，=m，DGHABC，=m，=m，DGBC，DFGEFC，=m，=m，即=m，=，=【点评】本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、
37、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果（2015湖州）24已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a= 求点D的坐标及该抛物线的解析式； 连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点
38、P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围 解：（1）过点D作DFx轴于点F，如图1，DBF+ABO=90，BAO+ABO=90，DBF=BAO， 又AOB=BFD=90，AB=BD，在AOB和BFD中，AOBBFD（AAS）DF=BO=1，BF=AO=2，D的坐标是（3，1），根据题意，得a=，c=0，且a32+b3+c=1，b=，该抛物线的解析式为y=x2+x；点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，C（，1），C、D两点的纵
39、坐标都为1，CDx轴，BCD=ABO，BAO与BCD互余，要使得POB与BCD互余，则必须POB=BAO，设P的坐标为（x，x2+x），（）当P在x轴的上方时，过P作PGx轴于点G，如图2，则tanPOB=tanBAO，即=， =，解得x1=0（舍去），x2=， x2+x=，P点的坐标为（，）；（）当P在x轴的下方时，过P作PGx轴于点G，如图3则tanPOB=tanBAO，即=， =，解得x1=0（舍去），x2=，x2+x=，P点的坐标为（，）；综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，），使得POB与BCD互余（2）如图3，D（3，1），E（1，1），抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代
40、入可得，解得，所以y=ax24ax+3a+1 分两种情况：当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足QOB与BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+10，解得a； 当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个根据（2）可知，要使得QOB与BCD互余，则必须QOB=BAO，tanQOB=tanBAO=，此时直线OQ的斜率为，则直线OQ的解析式为y=x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax24ax+3a+1=x有两个不相等的实数根，所以=（4a+）24a（3a+1）0，即4a28a+0，解得a（a舍去）综上所示，a的取值范围为a或a【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键
