1、用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化 【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； （1）当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： （2）当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 2、对勾函数的综合应用例1、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）用定义法证明：函数在上
2、是减函数；（2）若函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围。【提示】；【答案】（；【解析】；【说明】；例2、已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数。若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为_。【答案】；【解析】；【说明】；例3、因函数(t0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0，上是减函数，在(，+)上是增函数；（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意1，3，总存在1，3，使得成立，求实数m的取值范围；【提示】；【答案】；【解析】；【说明】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有
3、解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若对于任意的，对于任意的，总有成立，故；（2）若对于任意的，存在，有成立，故；（3）若存在，存在，有成立，故；（4）若对于任意的，存在，有，则的值域是值域的子集 例4、已知函数；（1）在时求的单调区间(不必写过程);（2）若，求证：【练习】1、函数的最大值为_2、求函数的单调区间，并求当时函数的最小值；3、方程在区间内有解求的取值范围；4、若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围；5、已知函数（1）求时，求的最小值；（2）若对任意，恒成立，求范围；【教师版】微专题：对勾函数的性质与图像的综合应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函
4、数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时， 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数； （1）当同号时， 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： （2）当异号时， 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 2、对勾函数的综合应用例1、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）用定义法证明：函数在上是减函数；（2）若函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围。【提示】（1）根据单调性的定义可证明结论；（2）由已知得当时，由 ，设，利用（
5、1）可得函数的单调性，求得答案；【答案】（1）证明见解析；（2）a【解析】（1）证明：设，且有 ，函数在上是减函数， （2）由题意得，当时， ，又，设，则，则由已知性质得，当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，由，为减函数，故， ，所以；【说明】本题考查运用函数的单调性的定义证明函数的单调性，利用对勾函数的单调性求得函数的最值，解决任意和存在的问题；例2、已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数。若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为_。【答案】【解析】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，所以，实数的取值范围为，故答案为；【说明】本题主要考查函数单调性
6、的定义，能够根据的单调性得出函数的单调增区间，理解在整数集合内为增函数的含义是正确解题的关键，最容易忽视定义域为点集，而错把临界位置和1比较，即错表达为，得到错误结果。例3、因函数(t0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0，上是减函数，在(，+)上是增函数；（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意1，3，总存在1，3，使得成立，求实数m的取值范围；【提示】（1）换元化为对勾函数，利用对勾函数的性质可求得结果；（2）由（1）知，根据题意转化为g(x)=在，3上有解，分离变量转化为m(x+)最小值，根据
7、对勾函数的单调性求出最小值后可得m4；【答案】（1）的单调递减区间为1，单调递增区间为(，3，值域为0，；（2）(4，+；【解析】（1），令1，1；则，由对勾函数的性质，可得在1，2上单调递减，在(2，5上单调递增，在1，上是减函数，在(，3上是增函数，综上可得，的单调递减区间为1，单调递增区间为(，3，值域为0，；（2）由（1）知时，若存在，3，使得g()(x+)最小值，令u(x)=x+，u(x)在1，2上是减函数，在2，3上是增函数u(x)最小值=u（2）=4，m4，即实数m的取值范围为(4，+；【说明】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）
8、若对于任意的，对于任意的，总有成立，故；（2）若对于任意的，存在，有成立，故；（3）若存在，存在，有成立，故；（4）若对于任意的，存在，有，则的值域是值域的子集 例4、已知函数；（1）在时求的单调区间(不必写过程);（2）若，求证：【解析】整理得（1）当时，的减区间为和;当时，的减区间为和，增区间为和 ；（2）证明:由条件知中至多一个负数；若都为正数，由可知时， 分若中有一负数不妨设；，为奇函数，【练习】1、函数的最大值为_【解析】设 ，即求函数在1，2上的最大值函数为对勾函数，在上单调递减；所以当t=1时，函数取到最大值，即；2、求函数的单调区间，并求当时函数的最小值；【解析】令，对勾函数在
9、，上是减函数，根据复合函数单调性，故当时是增函数，所以在上是减函数；同理，在上是增函数，由于函数是奇函数，所以函数在上是减函数，在上是增函数，由周期性，函数在每一个区间 上是减函数，在每一个区间上是减函数;函数在每一个区间上是增函数，在每一个区间上是增函数；当时，当时即时有最小值；3、方程在区间内有解求的取值范围；【答案】【解析】根据题意得时，无解;在内有解，即:在 上的取值范围，设，当时，在为单调递减，在 为单调递增，因为，则当时，故；4、若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围；【答案】【解析】由时满足;时，不等式，因为恒成立，所以设 ，因为，所以当时，取得最小值为；5、已知函数（1）求时，求的最小值；（2）若对任意，恒成立，求范围；【答案】 ， 【详解】（1）因为在上为增函数，所以在上的最小值为；（2）问题等价于，在上恒成立；即在上恒成立；令，则在上递减，当时，所以，即实数的取值范围是；试卷第10页，共10页试卷第11页，共1页 第13页
