1、 高数强化 2-5 巩固练习 高数辅导讲义严选题P13：45，46，47，48，49，50，51，52，53，54 综合测试 1.设()f x在0,1上二阶可导，且(0)(0)(1)(1)0ffff.证明：方程()()0fxf x在(0,1)内有根.，2.设()f x在,a b上连续，在(),a b内可导，0ab，且()()0f af b，证明：()至少存在一点,()a b，使得20()()ff；()至少存在一点,()a b，使得()20()ff 3.设 f x在,a b上连续，在()a b,内可导，0ab，证明：存在，,()a b，使得()2()fba f 4.（96-3）设()f x在,a
2、 b上连续，在(,)a b内可导，且1()d()baf xxf bba.求证：在(,)a b内至少存在一点，使()0f.5.（96-3）设()f x在区间0,1上可微，且满足条件120(1)2()dfxf xx.试证：存在(0,1)，使()()0.ff 6.（00-1;2;3）设函数()f x在0,上连续，且0()d0f xx，0()cos d0f xx x试证：在(0,)内至少存在两个不同的点12,使12()()0.ff 7.（03-2）设函数()f x在闭区间,a b上连续，在开区间(,)a b内可导，且()0fx.若极限(2)limxafxaxa存在，证明：（I）在(,)a b内()0f
3、 x;（II）在(,)a b内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；（III）在(,)a b内存在与（II）中相异的点，使222()()()dbafbaf xxa.8.（99-2）设函数()f x在闭区间 1,1上具有三阶连续导数，且(1)0f，(1)1f，(0)0f，证明：在开区间(1,1)内至少存在一点，使()3f.9.（01-2）设()f x在区间,(0)a a a上具有二阶连续导数，(0)0f.（）写出()f x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（）证明：在,a a上至少存在一点，使3()3()daaa ff xx.10.设()f x在0),上连续，在(0,)内可导，且20()
4、1xf xx，证明：至少存在一点0(),，使得2221()(1)f 11.设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，()()1f af b.证明：存在,(,)a b，使得22eee()()abff.12.（02-3）设函数(),()f x g x在,a b上连续，且()0g x.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点,a b，使()()d()()dbbaaf x g xxfg xx.13.（96-2）求函数1()1xf xx在点0 x 处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.14.（08-2）（）证明积分中值定理:若函数()f x在闭区间,a b上连续，则至少存在一点,a b，使得()d
5、()()baf xxfba.（）若函数()x具有二阶导数，且满足(2)(1)，32(2)()dxx，则至少存在一点(1,3)，使得()0.拓展提升 1.设 函 数()f x在0,2上 连 续，在(0,2)内 二 阶 可 导，且12()lim0cosxf xx,1122()d(2)f xxf证明：存在(0,2)，使得()0f.2.设()f x在0,1上连续，在(0,1)内二阶可导，且()0fx，满足 1100()d()d0f xxxf xx 证明：()f x在0,1上恰好有两个零点.3.已知函数()f x在,a b上连续，(,)a b上可导，n为正整数，证明：在区间,a b内存在互不相等的,，使
6、得2()()()()f bf af f ba.4.设()f x在0,1上具有二阶导数，且()f xa，()fxb，其中a，b都是非负常数，c是(0,1)内任一点.（）写出 f x在xc处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；（）证明：()22bf ca.5设函数()f x在闭区间1,3上具有三阶导数，且2211()d(1)df xxf xx，(2)0f 证明：存在(1,3)，使得()0f 6.设()f x在0,)上连续，在(0,)内可导，且(0)0f，lim0()xxf，证明：至少存在一点(0,)，使得()0f.7.设()f x在0,上有二阶导数，(0)0f，(0)0f，()0(0)fxMx.证明：()0f x 在(0,)内有唯一实根.8.设()f x在,a b上有二阶连续导数，且()()0f af b，max()a x bMfx.（）证明：21max()()8a x bf xM ba；（）证明：1max()()2a x bfxM ba.9.设函数()f x在,a b上可导，证明对于介于()fa与()f b之间的任何,c总有(,),a b使得()fc.10.设2300000()()()2!3)(!()hhf xhf xhfxfxfxh，其中01，(4)()fx连续且(4)0()0fx，求0limh
