1、大学同步讲义-线性代数-配题答案大学同步内部讲义大学同步内部讲义-线性代数线性代数-配套习题答案配套习题答案目录目录预备知识预备知识.1第一章第一章 行列式行列式.1第二节 行列式的性质.1第三节 克莱姆法则.3第二章第二章 矩阵矩阵.4第二节 矩阵的运算.4第三节 逆矩阵.5第四节 分块矩阵及运算.6第五节 矩阵的初等变换及其初步应用.7第六节 矩阵的秩.10第三章第三章 线性方程组线性方程组与向量组与向量组.12第一节 线性方程组及其初步应用.12第二节 向量组的线性相关性.18第三节 向量组的极大无关组及秩.23第四节 线性方程组解的结构.24第五节 向量空间（仅数一）.27第四章第四章
2、 特征值与特征向量特征值与特征向量.28第一节 特征值与特征向量的定义.28第二节 特征值与特征向量的性质.29第三节 矩阵的相似、相似对角化.30第四节 实对称矩阵的正交对角化.34第第五五章章 二次型二次型.38第一节 二次型的概念.38第二节 二次型的标准形.39第三节 正定二次型.42大学同步讲义-线性代数-配题答案1大学同步内部讲义大学同步内部讲义-线性代数线性代数-配套习题答案配套习题答案预备知识预备知识1.【答案】(1)2;(2)270.2.【答案】(1)4;(2)3333abcabc；(3)bacacb;(4)332 xy.第一章第一章 行列式行列式第二节第二节 行列式的性质行
3、列式的性质1.【答案】(1)16;(2)4abcdef;(3)726;(4)0;(5)0;(6)121.2.【答案】12n.3.【答案】40.4.【答案】1mnab.5.【答案】2.6.【答案】2.7.(1)【答案】30;(2)【答案】1abcdabadcd;【解】原式=1 21011011101(1)01011bacca bcdbdcdddabcdabadcd (3)【答案】2adbc;【解】：原式=2000000=00ababababadbcadbcadbccdcdcdcd(4)【答案】11nxnaxa；【解】：原式=大学同步讲义-线性代数-配题答案21111111001100=1naxa
4、xaxnaxnaaaxxaxnaxa(5)【答案】11nnnab；【解】：原式=1+10000000000+1=(1)0000000000nnnnabbaababababbaab;(6)【答案】1n.【解】：122nnnDDD112212212112211nnnnnDDDDDDDDnn 8.【答案】0.【解】：原式=123412341234234101270127=0111101230004432105101500020.9.【答案】24.【解析】大学同步讲义-线性代数-配题答案3313233343121233143413112132251345134322132231121533153313
5、22132252016760032308540854085500010328548324001AAAArrrrrrrrrrrr 10.(1)221naa;(2)11nijij ;(3)1niii iia dbc;(4)121naaa;(5)1211 2nnn;(6)12111nniia aaa.第第三三节节 克莱姆法则克莱姆法则1.【答案】(1)12315,10,7xxx;(2)1231,0,0 xxx.(2)【解析】111111121010102-3 12-31D ，故此方程组有唯一解，且12311111 111112111 11212-3 122 12-321,0,0 xxxDDD.2.【
6、答案】由题意：21111(2)(1)011D,故1或2.3.【答案】0 x,3y,1z（提示：410,ijkjja Aik当时）.【解析】由于410,ijkjja Aik当时，故有大学同步讲义-线性代数-配题答案4933109 333092310 330 xyzzxyyxz 即9303312310 xyzxyzxyz 解得0 x,3y,1z.第二章第二章 矩阵矩阵第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算1.【答案】897-13614.2.【答案】34813433.3.【答案】(1)264132396;(2)11;(3)214379;(4)612436;(5)201030.4.【答案】(1)10117
7、3432;(2)442533111;(3)04021425115;(4)48231154104.5.【答案】(1)ABBA；(2)222+2+A BAAB B；(3)22+A BABAB.6.【答案】(1)取11=11A；(2)取10=00A；(3)取10=00A，10=00X，10=01Y.大学同步讲义-线性代数-配题答案57.【答案】(1)利用=TAA；(2)利用=TAA，=TBB.8.【答案】(1)-80;(2)0.9.【答案】(1)210=21A，310=31A，10=1kAk；(2)432443446=0400A;(3)5025=10AE，512531=1013A；(4)100992
8、48=81243612A.10.【答案】O.【解】23212020402,22,2202nnAA AA AAAA,故12nnAAO.第三节第三节 逆矩阵逆矩阵1.【答案】D.2.【答案】B.3.【答案】D.4.【答案】(1)127012001;(2)01112822251;(3)0031002100;(4)2101313221671;(5)1210110naaa.5.【答案】100122010345.6.【答案】14.7.【答案】2.大学同步讲义-线性代数-配题答案68.【答案】12.9.【答案】576.10.【答案】8.【解析】38AA，故2A 1114424AAAAA，即141323184
9、AAAAA.11.【答案】8.12.【答案】*1nAA.13.【答案】(1)14;(2)-9826.14.【答案】322133342.15.【答案】132AE.【解析】232AAEO，即32A AEE，故32AEAE，根据逆矩阵定义可知，1132AAE.16.【答案】112AAE，11234AEEA.17.【解析】提示:21kEAEAAAE.18.【解析】由题意知：A为可逆矩阵.由*AAA E，有*1*AAA.又由*AAA E，有1*nAA及1*AAA.将这些结论带入上式，有*2*nAAA.19.【解析】证明：因为*AAA E,又已知2AA E,所以*2AAA,而A可逆，故*AA.第第四四节节
10、 分块矩阵及运算分块矩阵及运算大学同步讲义-线性代数-配题答案71.【答案】(1)12 312 33 22231200001000213232023142213AOBOABOABB;(2)323111322223200000000002AOBOAOABAOAOBOA.2.【答案】(1)1200250000230058;(2)031104221000.(2)【解析】111 21 12 12 212 22 11 11 2OAOBBOAO,即131000031522121002104224305001000.3.【答案】D.4.【答案】(1)*A B EOAOB AOPQA B EOA B EOBO
11、A B(2)因为PA B,所以当P可逆时，0A B,而PQA B E,即1PQEA B,于是Q可逆且11QPA B.第第五五节节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换及其初步应用及其初步应用1.【答案】C.2.【答案】B.3.【答案】C.4.【答案】100201010.大学同步讲义-线性代数-配题答案85.【答案】（1）85885285135151518528857853；（2）100021007210381131；(2)【解析】135710001350100713001051701230100012001030100012700120010001000120010001200010001000100
12、01000100011000131138010001270010001200010001故逆矩阵为100021007210381131.（3）41414141414141414141414141414141;（4）10612631110104211.6.【答案】(1)80232X;(2)11104X;(3)6646311831161X;(3)【解析】大学同步讲义-线性代数-配题答案9111111111111111 1111102211002211001102211021402112320011135111110021003362111101010101626222001110011133即66
13、46311831161X.(4)22182533X;(5)201431012X;(6)237131225143X.7.【解 析】设 存 在 可 逆 矩 阵,B C,使 得ABACE,于 是A BCO,故 r Ar BCn，因为A可逆，所以 r An，从而0,r BCBCO,于是BC,即A的逆矩阵是唯一的.8.【答案】033123110.9.【答案】201030102BAE.10.【答案】221,2,1BAdiag【解 析】由 题 意 可 知，2A ,将28A BABAE两 边 同 时 左 乘A，得228BAABAA，将228BAABAA两边同时右乘1A，得4BABE，化简得4AE BE，大学同
14、步讲义-线性代数-配题答案10而2004001002004010040010040002004001002AEE即200040221,2,1002BAdiag.11.【答案】6,6,6,1Bdiag.12.【答案】(1)410339330331X;(2)9122692683X.13.【答案】100200221A,100200421100A.14.【答案】13131111273127321242168368431242 .15.【答案】1 1 14 1 1 11 1 1.第六节第六节 矩阵的秩矩阵的秩1.【答案】(1)100500130000;(2)010500130000;(3)1102300
15、1220000000000.(3)【解析】4231211134311343113431102333541004880012200122222320003660000000000333421001220000000000rrrrrr(4)10202011030001400000.大学同步讲义-线性代数-配题答案112.【答案】320210761P，101201230000PA.3.【答案】(1)1325P，104017PA；【解析】122125311010413104133221 101211010172510413101725AErrrrrPAP 故1325P，104017PA.(2)1203
16、50471Q，100100TQA.【解析】521001012010120310103101001350110011100101121101200135000471TTAEQAQ即120350471Q，100100TQA.4.【答案】(1)2;(2)3;(3)3;(3)【解析】112211122111221021510215102151203130215100000110410022200222，故秩为 3.(4)5.5.【答案】(1)1k；(2)2k ；(3)1k 且2k .大学同步讲义-线性代数-配题答案126.【答案】(1)6k ;(2)6k 的任何数.7.【答案】C.8.【答案】C.9.
17、【答案】2.10.【答案】2.【解析】因为0AB，所以 3r Ar B，又因为B为非零矩阵，故 1r B,所以 2r A;由于12325aAbcd的任意两行都不成比例，所以 2r A，故=2r A.11.【答案】1R AR BR A.第三章第三章 线性方程组线性方程组与向量组与向量组第一节第一节 线性方程组线性方程组及其初步应用及其初步应用1.【答案】(1)1234433431xxcxxc为任意常数);(2)12123421100001xxccxx (1c，2c为任意常数);(3)12341272521xxcxx(c为任意常数);(4)1212343131717192017171001xxcc
18、xx（1c，2c为任意常数）.（4）【解析】大学同步讲义-线性代数-配题答案133457178917892332233201719204111316411131601719207213721305157603131017891717017192019200117170000000000000000A此方程组对应的同解方程组为134234313=017171920=01717xxxxxx，分别令3410,01xx ，得到方程组的基础解系为317191710，1317201701，故通解为1212343131717192017171001xxccxx.2.【答案】-6 或-5.3.【答案】-5 或
19、 3.4.【解】系数行列式222111()()()Dabcab bc caabc.(1)当,ab bc ca时，0D，方程组仅有零解1230.xxx(2)下面分四种情况：当abc时，同解方程组为12330,0.xxxx方程组有无穷多组解，全部解为123,0 xtxt tx 为任意常数当acb时，同解方程组为12320,0.xxxx方程组有无穷多组解，全部解为1230,xtxtxt 为任意常数当bca时，同解方程组为大学同步讲义-线性代数-配题答案1412310,0.xxxx方程组有无穷多组解，全部解为1230,xxttxt 为任意常数当abc时，同解方程组为1230,xxx方程组有无穷多组解，
20、全部解为112211232,xttxtt txt ,为任意常数.5.【答案】13423422=034=0 xxxxxx.6.【答案】A.7.【答案】1210011100,01100001nB，由 r An可知0A,而111nBA，故当n为奇数时，0B，方程组0BX 只有零解；当n为偶数时，0B，方程组0BX 有非零解.8.【答案】D.9.【答案】A.10.【答案】D.11.【答案】D.【解析】A 选项：m n，则 r Amn，但是推不出来,r Ar A bm n，故 A选项错误;B 选项：m n，则 r Anm，但是推不出来,r Ar Abn，故 B 选项错误;C 选项：r An，但是推不出来
21、,r Ar Abn，故 C 选项错误;D 选项：r Am，即 A 为行满秩矩阵，则必有,r Ar A b，故方程组 AX=b 一定有解.12.【答案】C.13.【答案】D.14.【答案】C.【解析】r Amn，即 A 为行满秩矩阵，则必有,r Ar A bm n，故方程组大学同步讲义-线性代数-配题答案15AX=b 一定有无数个解;A 选项：例如100001A，存在一个二阶子式1 000 0，故 A 选项错误;B 选项：例如100001A，第一列和第二列线性相关，故 B 选项错误;D 选项：例如100001A，要化为mEO，还需要经过列变换.15.【答案】12340aaaa.16.【答案】(1
22、)无解;(2)11212324120 xtxttxtx,12,t t为任意常数;(3)txtxtx321221,t为任意常数;(4)2413212211)955(71)6(71txtxttxttx,12,t t为任意常数.(4)【解析】2111114352143523213401410181007595143520759500000A b，116107775950177700000，,23r Ar A b，故此方程组有无穷多解;对应的齐次线性方程组的同解方程组为13423411=07759=077xxxxxx，分别令3410,01xx ，大学同步讲义-线性代数-配题答案16得到对应的齐次线性方
23、程组的基础解系为175710，179701，非齐次线性方程组的同解方程组为134234116=777595777xxxxxx，令3400 xx，得到非齐次线性方程组的特解为675700;故对应的非齐次线性方程组的通解为2413212211)955(71)6(71txtxttxttx,12,t t为任意常数.17.【答案】(1)当2,1kk时有惟一解:2)1(,21,212321kkxkxkkx;(2)当2k 时,无解;(3)当1k 有无穷多解:23122111txtxttx,t1,t2为任意常数.18.【答案】1时有解123111010 xxcx ，2 时有解123121210 xxcx （c
24、为任意常数）.【解析】222222112112112121121033112000200021Ab 大学同步讲义-线性代数-配题答案17当1或2 时，,23r Ar A b，此方程组有无穷多解;当1时，2112101 11211011 011210000Ab,对应的齐次线性方程组的同解方程组为1323=0=0 xxxx，令31x，得到对应的齐次线性方程组的基础解系为111 ；非齐次线性方程组的同解方程组为1323=1=0 xxxx，令30 x，得到非齐次线性方程组的特解为100 ，故对应的非齐次线性方程组的通解为123111010 xxcx （c为任意常数）.当2 时，2112101 2121
25、2011 211240000Ab对应的齐次线性方程组的同解方程组为1323=0=0 xxxx，令31x，得到对应的齐次线性方程组的基础解系为111 ；非齐次线性方程组的同解方程组为1323=2=2xxxx，令30 x，得到非齐次线性方程组的特解为220 ，故对应的非齐次线性方程组的通解为123121210 xxcx （c为任意常数）.大学同步讲义-线性代数-配题答案1819.【答案】1且10时有惟一解；10时无解；1时有无限多解，解为12123221100010 xxccx （1c，2c为任意常数）.20.【答案】当0aab且时，方程组有唯一解，唯一解为123111,0 xxxaa；当0ab时
26、，方程组无解；当0ab时，方程组有无数解.123211(1)(1),xka xkxkaa,k为任意常数.21.【答案】当1a 时，有唯一解12342231,0111baabbxxxxaaa；当1,1ab 时，无解；当1,1ab 时，有无数解，通解为12111221100010Xkk,12,k k为任意常数.第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.【答案】C.2.【答案】（1）当3,0时，可由3,21,唯一地线性表示;（2）当0时，可由3,21,线性表示，且表示式不唯一;（3）当3时，不能由321,线性表示.【解析】设332211xxx，则对应方程组为2321321321)1()1
27、(0)1(xxxxxxxxx，其系数行列式)3(1111111112A;（1）当3,0时，0A，方程组有唯一解，所以可由3,21,唯一地线性表示;（2）当0时，方程组的增广阵011101110111A000000000111，大学同步讲义-线性代数-配题答案1931)()(ArAr，方程组有无穷多解，所以可由3,21,线性表示，且表示式不唯一;（3）当3时，方程组的增广阵921131210112A18000123303121，)()(ArAr，方程组无解，所以不能由3,21,线性表示.3.【答案】（1）10ab 当且时，不能表示为4321,的线性组合；（2）1a 时，能唯一地表示为4321,的
28、线性组合.【解析】以,4321为列构造矩阵：11111011212324335185aba1111101121001000010aba（1）10ab 当且时，不能表示为4321,的线性组合；（2）1a 时，能唯一地表示为4321,的线性组合.4.【答案】略.【解析】0111310111()11022011131011100000A B知()()()R AR BR A B，即向量组A与向量组B等价.5.【答案】略.6.【答案】（1）线性相关；（2）线性无关.7.【答案】21aa 或.8.【答案】D.9.【答案】B.10.【答案】B.【解析】选项（A）中若120=Lskkk，则12,s 线性无关，
29、错；大学同步讲义-线性代数-配题答案20选项（B）中是12,s 线性无关的充要条件，对；选项（C）中 例1231230001,2,0,20102 ，123,相关，但12330-+；选项（D）中例1230001,2,0102 ，则1230000+=，但123,相关，错.11.【答案】略.12.【答案】12(1),.bcac a cR R13.【答案】121211221000=,0001aabbab ab 若，则线性无关.14.【答案】略.15.【答案】略.16.【答案】略.17.【答案】（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性相关.18.【答案】C.【解析】方法一：定义法，选项（C）中令112
30、223334441()()()()0+-=k k k k，整理的141122233344()()()()0-+=kk kk kk kk，因为1234,线性无关，所以141223340000kkkkkkkk，因为系数行列式100111002001100011-=，所以12340=kkkk，所以12233441,+-线性无关.方法二：矩阵法，选项（C）中12233441123410011100(,)(,)01100011 ，因为大学同步讲义-线性代数-配题答案21100111002001100011-=，所 以1001110001100011为 可 逆 矩 阵，所 以122334411234(,)
31、(,)4+-=R R ，所以1234,线性无关.19.【答案】5.20.【答案】线性无关.21.【答案】当5t 时123，线性相关；当5t 时123，线性无关.【解析】存在一组实数123,x x x，令1 122330+=xx x 系数行列式123111,123513tt ，当5t 时，123(,)3R 123,线性相关；当5t 时,123(,)3=R ,123,线性无关.22.【答案】略.【解析】设0)()()(1322211nnkkk则0)()()(122111nnnnkkkkkkn,21线性无关0001211nnnkkkkkk其系数行列式1100001000001100001110001
32、=为偶数为奇数nnn,0,2)1(11当 n 为奇数时，nkkk,21只能为零，n,21线性无关；当 n 为偶数时，nkkk,21可以不全为零，n,21线性相关.大学同步讲义-线性代数-配题答案2223.【答案】略.【解析】证：设0)()()(020210100sskkkk则0)(22110210ssskkkkkkk因s,210线性无关，所以000021210sskkkkkkk解得0210skkkk所以向量组s020100,线性无关.24.【答案】略.【解析】证：,21s线性相关存在不全为零的数kkkks,21使得02211kkkkss若0k，则02211sskkk，（不全为零skkk,21）
33、与s,21线性无关矛盾所以0k于是sskkkkkk2211能由s,21线性表示.设sskkk2211sslll2211则-得0)()()(222111ssslklklks,21线性无关),2,1(,0silkii，),2,1(,silkii，即表示法唯一.25.【答案】略.【解析】证：用数学归纳法当 s=1 时，01，线性无关，当 s=2 时，2不能由1线性表示，21,线性无关，大学同步讲义-线性代数-配题答案23设 s=i-1 时，121,i线性无关则 s=i 时，假设i,21线性相关，121,i 线性无关，i可由121,i线性表示，矛盾，所以i,21线性无关，得证26.【答案】略.【解析】
34、证：必要性设 向 量 组s,21线 性 相 关，则 存 在 不 全 为 零 的 数,21skkk使 得02211sskkk，不妨设0sk，则112211sssssskkkkkk，即至少有一个向量是其余向量的线性组合.充分性：设向量组s,21中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设112211ssskkk则0112211ssskkk，所以s,21线性相关.27.【答案】略.【解析】证：若向量组s,21中有一部分组线性相关，不妨设r,21（rs）线性相关，则存在不全为零的数,21rkkk使得02211rrkkk于是00012211srrrkkk因为,21rkkk0，0 不全为零所以s,21线性相
35、关.第三节第三节 向量组的极大无关组及秩向量组的极大无关组及秩1.【答案】（1）秩为 2，极大无关组为12，；（2）秩为 2，极大无关组为12，.2.【答案】(1)123,为一组最大无关组，4123825=-+.(2)123,为一组最大无关组，41235233,=+-=-+.大学同步讲义-线性代数-配题答案24【解析】(2)1234511221100100215101031(,)20313001111104100000 123,为一组最大无关组，41235233,=+-=-+.3.【答案】421,为一个极大无关组，且31240,42152.【解析】),(54321140264725500121
36、13112100000110001011020101421,为一个极大无关组，且31240,42152.4.【答案】A.【解析】：矩阵的秩即为行向量组的极大无关组的秩，即必有 r 个行向量线性无关.5.【答案】A.【解析】：s,21的秩为r说明极大无关组有r个线性无关的向量.6.【答案】2,5.ab7.【答案】=3.DR8.【答案】略.9.【答案】略.10.【答案】略.11.【答案】相等.【解析】：向量组等价推出秩相等.12.【答案】.第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构1.【答案】大学同步讲义-线性代数-配题答案25121212104101070,01014319211,).1
37、12nnn （）；（2）；（3）(【详解】(2)系数矩阵2321190211902135420191477 191900876300000000A ，取自由变量131001xx 及，则基础解系为121070=01192 ，.2.【答案】1052.81013.【答案】12312420,230.xxxxxx4.【答案】(1)813=02,11=10;(2)170=140,191=70,280=72.【详解】(2)增广矩阵1523111904175361101427282421600000A，同解齐次线性方程组为124324942147xxxxxx，取自由变量241001xx 及，则对应的齐次大学同
38、步讲义-线性代数-配题答案26方 程 组 的 基 础 解 系 为124901=77201，同 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 为1243249417214728xxxxxx，取自由变量2400 xx ，则对应的非齐次方程组的特解为则170140.5.【答案】3243.5465xcc （为任意实数）【详解】123,是它的 3 个解向量，则232hh+也是非齐次线性方程组的解，2312hhh+-是对应齐次线性方程组的解，因为()3=R A，所以4 40=AX有一个基础解系，即2313225223，所以非齐次线性方程组的通解3243.5465xcc （为任意实数）6.【答案】当4,0 时，向量b
39、不能由向量组A线性表示；当4 时，向量b能由向量组A线性表示，且表达式唯一；当4,0 时，向 量b能 由 向 量 组A线 性 表 示，其 一 般 表 达 式 为123(2c 1)=+-+bc.【详 解】123211(,)211,10541A bAXb，系 数 行 列 式大学同步讲义-线性代数-配题答案272121141054A，当40,4 时，=AXb有唯一解，即向量b能由向量组A线性表示，且表达式唯一；当40,4 时，增广矩阵42112112110011 2105410003A，当0时，向量b不能由向量组A线性表示；当0=，向量b能由向量组A线性表示，且表达式不唯一，=AXb的通解为1231
40、02121011xcxxccx ，c为任意常数，123(2c 1)=+-+bc，c为任意常数.7.【答案】略.第五节第五节 向量空间（仅数一）向量空间（仅数一）1.【答案】1123212323,332.vaaa vaaa2.【答案】234-810-10-1.-10-15（）；（2）3.【答案】(1,2,6).T4.【答案】123123123123111122223333,(,),(,)131943122611913306113.71024132TTx x xx x xxxxxxxxxxxxx 设 在下的坐标是，在下的坐标是，有，或5.【答案】大学同步讲义-线性代数-配题答案2811223344
41、205613361 12110131292733112923129001827739263(1,1,1,1).TPxxxxxxxxk（1）；（）；（）第四章第四章 特征值与特征向量特征值与特征向量第一节第一节 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义1.【答案】(1)123=1,对应的线性无关的特征向量为1(1,1,1)T；(2)1=0,对应的线性无关的特征向量为1(1,1,1)T；29,对应的线性无关的特征向量为2(1,1,2)T；3=1,对应的线性无关的特征向量为3(1,1,0)T；(2)【解析】特征多项式123213(9)(1)0336EA ，得1230,9,1，当10时，求1231
42、010213011336000EA的基础解系为11=11，即1 11,(0)k k为10的特征向量；当29，求110282319283012333000EA 的基础解系为21=12 ，即222,(0)k k为29的特征向量；大学同步讲义-线性代数-配题答案29当31，223110223001337000EA 的基础解系为31=10，即3 33,(0)k k为31 的特征向量；(3)12=1,对应的线性无关的特征向量为1(0,1,1,0)T,2(1,0,0,1)T；34=1,对应的线性无关的特征向量为3(0,1,1,0)T,4(1,0,0,1)T.2.【答案】112112132131131311
43、020102 33001AE 213(3)(3)(4)011 ，12=2,2,3 .3.【答案】1111Aa ，故A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量为,(1,1,1)Ta.4.【答案】3,1,0ab .【详解】设是属于特征值为的特征向量，由A知，2121153111211ab，解得3,1,0ab .5.【答案】3311122223133ts解得2,6,9ts.第二节第二节 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质1.【答案】C.【解析】2()()()nr Ir Ar An，得()r An.2.【答案】B.大学同步讲义-线性代数-配题答案303.【答案】B.【解析】已知A特征值为，则
44、2A特征值为2，1A特征值为1，则211()3A特征值为34.4.【答案】D.【解析】每一行元素之和均为a说明a为A特征值.5.【答案】0,1.【解析】20AA，20.6.【答案】18.7.【答案】25.【解析】已知A特征值为，则A特征值为A，则32AAE特征值为+3+2A，又因为A的特征值为1,2,3，则=6A，即32AAE特征值分别为1,5,5，32=25AAE.8.【答案】7.解析：2AAE特征值为 1 1 7，27AAE.9.【答案】1，2.解析：2320根为 1，2.10.【答案】24.【解析】A与B相似，则它们具有相同的特征值，则B的特征值为1 1 1 1,2 3 4 5，1B的特
45、征值为2,3,4,5，1BE特征值为 1，2，3，4，则124BE.11.【解析】证明：设,App则1111,A ApA ppA p.12.【解析】证明：假设12是A关于的特征向量，则121211221211220A 又由于12,线性无关，12012，矛盾.13.【答案】E.【解析】0AE x的解系有 n 个，说明0AE.第三节第三节 矩阵的相似矩阵的相似、相似、相似对角化对角化1.【答案】C.2.【答案】B.大学同步讲义-线性代数-配题答案313.【答案】C.4.【答案】A.5.【答案】(1)-4,2,-10；(2)特征值不同一定可对角化且4210；(3)4 21080,34128BAE .
46、6.【答案】1111P.7.【答案】3x.【解 析】特 征 多 项 式220131(1)(6)0405EAx，得1231,6，因为A可相似对角化，121所对应的线性无关特征向量的个数至少是两个，则()1r EA101101()30003404000EAxx，则3x.8.【答案】0 xy.【解析】1010,1,0101AExyR AExy.9.【答案】（1）3,0,1ab ；（2）不能.10.【答案】B.【解析】可对角化的矩阵特征值相同等价于相似，选项 B 中矩阵100020001可对角化且特征值与 A 相同.11.【答案】（1）14522,6y y.（2）111102013P.12.【答案】(
47、1)1,1yx;大学同步讲义-线性代数-配题答案32(2)111010001P.【解析】(1)因为矩阵 A 与 B 相似，所以()(),tr Atr BAB,1 11 1xyxy 得，1,1yx.(2)特征多项式2122010(1)(1)0001EA，得1231,1，当121时，求222111000000000000EA线性无关的基础解系为1211=1,=001 ，即1211=1,=001为121的特征向量；当31，022010020001002000EA的基础解系为31=00 ，即31=00 为31 的特征向量；则存在可逆矩阵13121111(,)010,10011PP APB .13.【答
48、案】233453.442A 14.【答案】320100111A.大学同步讲义-线性代数-配题答案3315.【答案】212122221P.212122221300020001212122221913000200011PPA=2323232350320371866615060219163624422121212222191.16.【答案】10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)4422 32(31)2(31)2(1 3)2 31.【解析】特征多项式5326+44(3)(2)(1)0445EA，得1233,2,1，当13时，求23
49、22013674011442000EA 的基础解系为112=11，即112=11为10的特征向量；当22，求3321102664001443000EA 的基础解系为21=10 ，即21=10 为29的特征向量；大学同步讲义-线性代数-配题答案34当31，432101654012444000EA 的基础解系为31=21 ，即31=21 为31 的特征向量；由矩阵A具有三个不同的特征值，所以A可相似对角化，存在可逆矩阵 P,使得1P AP，即111132112,21011PP AP,又因为1AP P，所以10010010010010010010010011001100100100100100100
50、100100332(21)2233122(23)4422 32(31)12(31)2(1 3)2 31APPPP 17.【答案】001112()121.2()2()nnnnnpqApqxxqpq rArpqyypqpqp r（）；（），其中18.【答案】1121 1(1)2;(2)21121 1224.19.【答案】证明：()0()0r AEr AEnAE，所以-1 是A的特征值.20.【答案】考察方程组00BxAx.nBrArBAr)()(.所以方程组有非零解,则解向量为 A,B 的公共特征向量,对应的特征值为0.21.【答案】(1)000103011B;(2)|0A.第第四四节节 实对称矩
