1、考纲要求 考纲研读 1.会用基本不等式 解决简单的最大(小)值问题 2会从实际情境中 抽象出一些简单的 二元线性规划问题，并能加以解决.近几年的高考试题增强了对密切联系生产和 生活实际的应用性问题的考查力度主要有 两种方式：(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求 给定可行域的最优解；求目标函数中参数的 范围(2)基本不等式的应用：一是侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件；二是用于 求函数或数列的最值.第5讲 不等式的应用 1如果 a，bR，那么 a2b2_(当且仅当 ab 时取“号)2ab 2如果 a，b 是正数，那么 ab 2 _(当且仅当 ab 时取“号)3可以将两个字母的重要不等
2、式推广：_ _.a b21a1b abab2 a2b22 以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)，几何平均 数(记作 G)，算术平均数(记作 A)，平方平均数(记作 Q)，即 HGAQ，各不等式中等号成立的条件都是 ab.4常用不等式还有：abbcca (1)a，b，cR，a2b2c2_(当且仅当 a bc 时，取等号)(2)若 ab0，m0，则bman_(糖水的浓度问题)ba 1某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为 1 000 元，一 年到期本息和为 1 040 元；B 种贴水债券面值为 1 000 元，但买入 价为 960 元，一年到期本息和为 1 000 元；C 种面值为
3、1 000 元，半年到期本息和为 1 020 元设这三种债券的年收益率分别为 a，b，c，那么 a，b，c 的大小关系是()C Aac 且 ab Cacb Babc Dcab 2设平面区域 D 是由双曲线 y2x241 的两条渐近线和抛物线 y28x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)D，则目标函数 zxy 的最大值为_.解析：双曲线 y2x241 的两条渐近线为 y12x，抛物线 y28x 的准线为 x2，当直线 yxz 过点 A(2,1)时，zmax3.3 3建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果 池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80
4、元，那么水池的最 低总造价为_.2 000 5一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市，两地路线长 400 千米，为了平安两辆货车最小间距不得小于 千米，那么物资运到 B 市的时间关于货车速度的函数关系式 应为_ v202 400vv25(v0)4函数 f(x)x a x2(x2)的图象过点 A(3,7)，那么此函数 的最小值是_.6 考点1 利用不等式进行优化设计 例1：设计一幅宣传画，要求画面面积 4 840 cm2，画面的上，下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 的空白怎样确定画面的高 与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？解析：设高为 x cm，则宽为
5、4 840 x，宣传画所用纸张的总面积为：y(x16)4 840 x10 4 84010 x164 840 x160 利用不等式解实际问题时，首先要认真审题，分析 题意，建立合理的不等式模型，最后通过根本不等式解题注意 最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大 5 0002 4 84016x 10 x6 760，当且仅当4 84016x10 x 即 x88 cm 时等号成立，此时宽为55 cm.【互动探究】1某村方案建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室在 温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保存 1 m 宽的通道，沿前侧)D 内墙保存 3 m 宽的空地那么最大种植面积是(A21
6、8 m2 B388 m2 C468 m2 D648 m2 解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab800.蔬菜的种植面积：S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)所以 S8084 2ab648(m2)当 a2b，即 a40 m，b20 m 时，S最大值648 m2.考点2 线性规划进行优化设计 例2：央视为改版后的?非常 61?栏目播放两套宣传片 其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒，广告时间为 30 秒，收视观 众为 60 万，宣传片乙播映时间为 1 分钟，广告时间为 1 分钟，收 视观众为 20 万广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告，而电视 台
7、每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间电视 台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？解析：设电视台每周应播映宣传片甲x 次，宣传片乙y 次，4x2y16，总收视观众为z 万人那么有如下条件：0.5xy3.5，x，yN.目标函数z60 x20y，作出满足条件的区域：如图D10.图D10 由图解法可得：当x3，y2 时，zmax220.答：电视台每周应播映宣传片甲3 次，宣传片乙2 次才能使得收视观众最多 利用线性规划研究实际问题的根本步骤是：应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线 性目标函数；用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内 求得使目标
8、函数取得最值的解；还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 此题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在 现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交 点代入检验【互动探究】4 2(2010 年安徽)设 x，y 满足约束条件 2xy20，8xy40，x0，y0，若目标函数 zabxy(a0，b0)的最大值为 8，则 ab 的最小值为_.解析：不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是(0,0)，(0,2)，12，0，(1,4)，易见目标函数在(1,4)取最大值 8，所以 8ab4ab4.所以ab2 ab4，在ab2时是等号成立 所以 ab
9、的最小值为 4.考点3 用根本不等式处理实际问题 例3：(2022 年湖北3月模拟)某企业用49万元引进一条年产 值 25 万元的生产线，为维护该生产线正常运转，第一年需要各种 费用 6 万元，从第二年起，每年所需各种费用均比上一年增加 2 万元(1)该生产线投产后第几年开始盈利(即投产以来总收入减去 本钱及各年所需费用之差为正值)(2)该生产线生产假设干年后，处理方案有两种：方案：年平均盈利到达最大值时，以 18 万元的价格卖出；方案：盈利总额到达最大值时，以 9 万元的价格卖出 问：哪一种方案较为合算？请说明理由 解题思路：根据题意建立函数模型，利用根本不等式求解 解析：(1)设这条生产线
10、投产后第 n 年开始盈利，设盈利为 y万元，则 y25n6nnn122 49n220n49.由 yn220n490，得 10 51n10 51.nN*，n3 时，即该生产线投产后第三年开始盈利 当n7 时，年平均盈利最大 假设此时卖出，共获利671860(万元)方案：yn220n49(n10)251.当且仅当n10 时，即该生产线投产后第10 年盈利总额最大，假设此时卖出，共获利51960(万元)两种方案获利相等，但方案所需的时间长，方案较合算(2)方案：年平均盈利为yxn49n20 2 n49n206(万元)【互动探究】3(2022 年北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备 产品每天的
11、仓储费用为 1 元为使平均每件产品的生产准备费用 与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件 B80 件 C100 件 D120 件 形如 yxpx(p0)的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制 费用为 800 元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件 答案：B 解析：记平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则 f(x)800 x8 x 1x800 xx82 800 xx820.当且仅当800 xx8，即 x80 件(x0)时，取最小值故选 B.易错、易混、易漏 10利用根本不等式时忽略等号成立的条件 例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为
12、162 平方 米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图 551)，如果 池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计 图 551(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低 总造价；(2)假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计 污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 正解：(1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为162x米 则总造价 f(x)4002x2162x2482x80162 1 296x1 296100 x12 9601 296x100 x12 960
13、1 2962 x100 x12 96038 880(元)，当且仅当 x100 x(x0)，即 x10 时取等号.当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元(2)由限制条件知 0 x16，0162x16，1018x16.设 g(x)x100 x1018x16.【失误与防范】利用均值不等式时要注意符号成立的条件及 题目的限制条件 g(x)在1018，16 上是增函数，当 x1018时(此时162x16)，g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 1 29610188008112 96038 882(元)当长为 16 米，宽为 1018米时，总造价最低，为 38 882 元 数学应用问题，就是指用数学的方法将一个外表上非数学问 题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题随着新课 程标准的改革和素质教育的进一步推进，要求学生应用所学知识 解决实际问题的趋势日益明显，近几年的高考试题增强了对密切 联系生产和生活实际的应用性问题的考察力度而以不等式为模 型的应用题是最常见的题型之一，有关统筹安排、最正确决策、最 应用根本不等式应遵循“一正、“二定、“三相等三 项根本原那么，尤其等号能否成立最容易无视，如果等号不能成立 那么考虑利用函数的单调性求解
