1、3 根本不等式 31 根本不等式 1.了解根本不等式的证明过程及其几何解释 2.了解算术平均数，几何平均数的定义 3.会用根本不等式推出与根本不等式有关的简单不等式.1.利用根本不等式推出与根本不等式有关的简单不等式是本节的考查热点 2.本节内容常与平面几何图形结合命题 3.多以选择题、填空题形式考查.1由不等式性质可知，对任意a，bR，(ab)2 0，因此a2b2 2ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当 时，取等号 2还记得等差中项和等比中项吗？两个正数a与b的等差中项为 ，正的等比中项为 .例如，2与8的等差中项为 ，正的等比中项为4，显然等差中项大于正的等比中项，那么，对任意正数a，b，
2、这样的关系还成立吗？ab ab2 ab 5 1基本不等式 若 a，b 都是 数，那么ab2 ab(当且仅当 a b 时，等号成立)，称上述不等式为 不等式，其中 称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数，该不等式又被称为 不等式 非负 根本 ab2 ab 均值 2根本不等式的意义(1)几何角度：两个正数的 平均数不小于它们的 平均数(2)数列角度：两个正数的 中项不小于它们的 中项 算术 几何 等差 正的等比 1不等式m212m中等号成立的条件是()Am1 Bm1 Cm1 Dm0 解析：m212m时，m1.应选A.答案：A 2a，bR，且ab2，那么()Aab4 Bab4 Cab
3、1 Dab1 答案：C 解析：由 a，bR，ab2 ab，ab1，ab1.3已知 abc，则 abbc与ac2的大小关系是_ 解析：ab0，bc0，abbcabbc2ac2.答案：abbcac2.答案：3 4 当 x 2 时，有 x 1x2 x 2 1x222x21x224，则当且仅当 x_时，等号成立 解析：等号成立的条件是 x21x2，x2，x21，x3.5求证：ab22a2b22.证明：ab22a2b22ab4a2b2a2b24 a2b22(当且仅当 ab 时“”成立).给出下面四个推导过程：a、b 为正实数，baab2baab2；x、y 为正实数，lgxlgy2 lgx lgy；aR，
4、a0，4aa24a a4；x、yR，xy0，xyyxxyyx 2xyyx2.其中正确的推导为()A B C D 根据根本不等式成立的条件逐个检验即可 解题过程 a、b 为正实数，ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确；虽然 x、y 为正实数，但当 x(0,1)或 y(0,1)时，lgx或 lgy 是负数，的推导过程是错误的；aR，a0，不符合基本不等式的条件，4aa24a a4 是错误的 答案：D 由 xy0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xyyx提出负号后，xy、yx均变为正数，符合均值不等式的条件，故正确 题后感悟 基本不等式ab2 ab(a0，b0)反映了两个
5、非负数的和与积之间的关系对它的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件：a、b 都是非负数，(2)“当且仅当”的含义 当 ab 时，ab2 ab的等号成立，即 abab2 ab；仅当 ab 时，ab2 ab的等号成立，即ab2 abab.1.下列不等式的推导过程正确的是_ 若 x0，则 cos x1cos x2cos x1cos x2.若 x0，则 x4x(x)4x 2x4x4.x231x22x221x2212x221x2213.答案：解析：在中，由 x0 不能保证 cos x0，故不能应用基本不等式；由于 x0，所以x0，故可以利用基本不等式结合不等式的性质推导，推导过程是正确的 虽
6、然可以利用基本不等式推导，但等号成立的条件是x221x22，即 x221，这显然不可能，从而等号取不到，因此只能得到 x231x223 已知 a、b、c 为正数，求证：bcaacabbabcc3.解答此题可先把左边拆开，再按和(或积)为定值重新组合以后连续使用根本不等式证明即可 证明过程 左边baca1cbab1acbc1 baabcaaccbbc3.a，b，c 为正数，baab2(当且仅当 ab 时取“”)；caac2(当且仅当 ac 时取“”)；cbbc2(当且仅当 bc 时取“”)从而baabcaaccbbc6(当且仅当 abc 时取等号)baabcaaccbbc33，即bcaacabb
7、abcc3.题后感悟 屡次使用ab2时，要注意等号能否成立，累加法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使用根本不等式的证明需重新组合，形成根本不等式模型，再使用 2.已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：abc ab bc ca.证明：a0，b0，c0，ab2 ab，bc2 bc，ca2 ac，2(abc)2 ab2 bc2 ca，即 abc ab bc ac，由于 a，b，c 为不全相等的正实数，等号不成立 abc ab bc ac.策略点睛 已知 a，b，cR且 abc1.求证：1a11b11c1 8.规范作答 证法一：a，b，cR，abc1，1a11aabcabaca2
8、 bca.同理1b12 acb，1c12 abc.上述三个不等式两边均为正，两边分别相乘，得1a11b11c1 2bca2 acb2 abc8，当且仅当 abc13时取等号 原不等式成立 题后感悟 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出根本不等式，在条件“abc1下，1的代换一般有上面两种情况，要注意如果两次使用根本不等式，用传递性证明，有时“不能同时取到 证法二：左边abca1abcb1abcc1 bacaabcbacbc 2bca2 2acb2 2abc28.原不等式成立 3.已知 a，b，cR，且 abc1，求证：1a1b1c9.证明：证法一：a，b，c
9、 为正实数 1a1b1cabcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 3baabcaaccbbc32229.即1a1b1c9.证法二：a，b，c 为正实数，1a1b1c(abc)1a1b1c 1bacaab1cbacbc1 3baabcaaccbbc32229.1a1b1c9.1基本不等式成立的条件 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件不相同，前者只要求 a，b 都是实数，后者则要求 a，b 都是非负数，可以通过一些具体数值来验证两个不等式成立的条件 如(2)2322(2)3 成立，而2 与 3 的积为6，它没有算术平方根，更谈不上不等式232 2 3是否成立了 这两个不等式都是具
10、有等号的不等式，要特别注意“当且仅当 ab”时，等号成立的含义，即 ab 是ab2 ab成立的充要条件 2不等式的变形(1)公式 a2b22ab(a，bR)有以下两种变形：aba2b22(a，bR)；a2b22ab22(a，bR)(2)不等式ab2 ab(a0，b0)有以下变形：abab22(a0，b0)；abab2a2b22(a0，b0)(3)当 x0 时 x1x2，当 x0 时 x1x2.(4)baab2(ab0)；baab2(ab0)已知 0 x1，试比较 2log2x5log2x与 22 5的大小 【错解】2log2x5log2x22log2x5log2x 22 522 5，2log2x5log2x22 5.【错因】当 0 x1 时，注意到 log2x0，5log2x0，因此不能直接应用基本不等式，需进行适当的等价变形【正解】0 x1，log2x0，5log2x0.log2x0，5log2x0.(log2x)5log2x2log2x5log2x2 5，即(log2x5log2x)2 5，log2x5log2x2 5，2log2x5log2x22 5.
