1、第 卷第期 年月中 国 科 技 论 文 多轴工业机器人离散惯性参数辨识周进，曹华军，江沛，吴延，兰云坤（机械传动国家重点实验室（重庆大学），重庆 ；重庆红宇精密工业集团有限公司，重庆 ）摘要：针对进行详细的动态特性与能耗分析以及基于惯性力与重力补偿的精确控制时需要获取离散惯性参数的问题，提出了一种辨识模型及方法，研究了多轴工业机器人离散惯性参数的一次性整体辨识。为了解决超定的离散参数辨识线性方程组容易近似奇异导致最小二乘解不可靠的问题，基于观测矩阵奇异值分解与有效秩，给出了一种扩展的线性方程组的最小二乘解公式。最后，对 机器人的动力学参数进行了辨识。结果表明，离散参数对应的力矩预计结果与传统最
2、小参数对应的结果几乎一致，且与实验结果基本相符，验证了所提辨识模型和方法的可靠性。关键词：工业机器人；动力学参数辨识；拉格朗日法；奇异值分解；最小二乘法中图分类号：文献标志码：文章编号：（）开放科学（资源服务）标识码（）：，（），；，）：，：；收稿日期：基金项目：重庆市技术创新与应用示范专项重点示范项目（）；国家自然科学基金资助项目（）第一作者：周进（），男，博士研究生，主要研究方向为工业机器人及智能制造技术通信作者：曹华军，教授，主要研究方向为绿色制造基础理论与关键技术，工业机器人成本低、灵活性好、效率高，在现代制造业中被广泛使用。随着人们对制造效率、质量和能效的要求越来越高，机器人模型预测
3、控制及其制造系统节能已成为研究热点。然而，这些方面的研究均需要详细且准确的机器人动力学模型和动力学参数。机器人动力学参数辨识已有许多研究。黎柏春等提出了一种由外向内逐关节辨识的方法，并进行了动力学参数的分步辨识。徐建明等和吴文祥等研究了机器人动力学参数辨识中激励轨迹的优化和改进。李永泉等、李家铮等和王保民等分别基于加权最小二乘法、递推最小二乘法和随机权重粒子群算法，对机器人动力学参数进行了辨识。然而，现存的大多数研究是将重组的最小惯性参数集作为辨识目标，基于传统最小惯性参数集不能单独计算惯性力和科氏力与向心力，因此无法分析动力学的详细特性及其对能耗的影响，也无法进行惯性力补偿控制。目前罕有以机
4、器人离散惯性参数集为直接目标的辨识研究，且离散惯性参数的一次性整体辨识尚未见报道。丁亚东等提出了一种分开辨识的方法，获得了具体的惯性参数值，但是要求、连杆惯性参数显著小于、连杆惯性参数。王罡等 基于智能算法直接对 个动力学参数进行搜索，但采取了分批次辨识，过程较复杂。此外，多轴机器人参数一次性整体辨识的模型系数表达式非常复杂且繁琐，直接获取很困难。离散惯性参数辨识具有高维度、多参数的特点，且一些参数的观测系数接近，这使得获得的辨识方程组容易出现近似奇异的病态情况，难以实现基于一般最小二乘法的快速、可靠估计。因此，目前仍缺乏快速、可靠的多轴工业机器人离散惯性参数一次性整第期周进，等：多轴工业机器
5、人离散惯性参数辨识体辨识方法。本文提出一种参数辨识模型及方法，研究多轴工业机器人离散惯性参数一次性整体辨识。首先，基于拉格朗日法建立多轴工业机器人的动力学模型；接着，在 软件中执行拉格朗日方程的符号运算，获取需辨识的动力学参数集（线性组合即为辨识模型）；然后，基于符号运算提取待辨识参数的系数，以构建辨识观测矩阵。基于观测矩阵的奇异值分解与有效秩，给出一种扩展的线性方程组最小二乘解公式，以有效求解超定的离散参数辨识线性方程组；最后，以 机器人作为案例，验证所提辨识模型和方法的可靠性。多轴工业机器人动力学方程与离散惯性参数 动力学模型目前，常用拉格朗日法和牛顿欧拉法 建立机器人动力学模型。由于拉格
6、朗日法物理意义明确，因此本文选用拉格朗日法进行建模。在只考虑关节库伦摩擦和黏滞摩擦 的情况下，建立的动力学方程可表示为 （）?，（?），?，（）（）（，）（）（），（）（，）（）（），（）（）。（）式中：为第个关节的力矩；（）为惯量；为工业机器人的关节位置矢量，代表机器人的形位；?和分别为关节的速度和加速度；?为的科氏力与向心力项；为的重力项；，为库伦摩擦系数；，为黏性摩擦系数；（）为矩阵的迹；为连杆坐标系 与基座坐标系 之间的变换矩阵；（?，?，?，）为连杆质心在 中的坐标位置矢量；为重力加速度矢量；为连杆的质量；为连杆的伪惯性矩阵，表达式为?。（）式中：、为连杆相对于的惯性张量的各项；?、
7、?、?为连杆相对于 的一阶惯量矩；，?，?，?，为连杆的惯性参数。离散惯性参数集实际上，将式（）展开后，关节力矩为连杆惯性参数和关节摩擦系数的线性组合。由于一些连杆惯性参数的观测系数可能相同、接近或为，并不是每个惯性参数都对力矩有影响或有独立影响。因此，为了减少辨识参数数量和避免辨识观测矩阵的奇异，常用方法是通过消去无关的惯性参数并重组惯性参数来得到一组最小惯性参数。但是，基于重组得到的最小参数集不能单独计算惯性力和科氏力与向心力。此外，最小参数集中的各元素是原连杆惯性参数的复杂组合式，相应的观测系数表达式非常复杂且规模较大。当机器人的关节数量较多（）时，即使使用高性能计算机，获得和存取它们也
8、是非常困难的。因此，本文直接以原连杆惯性参数集合成的离散惯性参数集为辨识目标，先将原连杆惯性参数和关节摩擦系数定义为符号常量，然后通过符号运算计算关节力矩模型（式（）以提取相应的观测系数。将多组关节位置、速度和加速度代入机器人动力学模型（式（），在 软件中进行符号运算。以 机器人为例，基于对符号运算结果的分析，每个关节力矩的各项均可以表示为下述离散动力学参数集中所有或部分元素的线性组合：，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，?，。（）动力学辨识模型为上述参数的线性组合方程。中只有个简单的组合参数，它们不影响关节力矩各项的独立计算。基于奇异值分解的最小二乘解 超定非齐次线性方程组的最
9、小二乘解在参数辨识领域，为了保证辨识精度，通常会使中 国 科 技 论 文第 卷用大量的采样数据点。使用这些采样数据得到的辨识非齐次线性方程组是超定的，因而通常无精确解。一般寻找该方程组的最优近似解仍然是有意义的。针对超定非齐次线性方程组（），寻求一个向量使 最小，其中表示欧式范数。这时，称为该超定方程组的最小二乘解。若非奇异，求线性方程组的最小二乘解比较直观的做法是使用的广义逆，其公式为，（），列满秩；（），行满秩。（）但是，当近似奇异（病态）或不满秩（奇异）时，式（）无法获得可靠解。通常，可使用奇异值分解来解决这个问题 ，但仅较好地解决了奇异问题。对于严重的病态情况，数值精度造成的解的改变仍
10、然较大。因此，本文基于矩阵有效秩给出了一个更一般的最小二乘解公式。扩展的最小二乘解公式基于奇异值分解，任意实矩阵可以分成个相乘的矩阵：（），（）（，），（，）。（）式中：为阶 正交 阵，每个 列 向量 由 对 称 阵 的特征向量构成；为秩为的对角阵，主对角线上每个元素是对称阵的非零特征值的算术平方根，且满足，非对角元素为；（）为阶正交阵，每个列向量由对称阵的特征向量构成。但是，当严重病态时，最后部分的非零对角元素，将非常接近，此时，和的较小改变也将引起相应线性方程组解的巨大变化。因此，在数值计算过程中，和元素的数值精度将不可避免地影响解的可靠性。为此，本文提出将最后接近的非零对角元素，根据个阈
11、值基准设置为，使用 （）来获取最小二乘解，并定义为和的有效秩。对应的线性方程组可表示为（）。（）进一步可写为（）。（）令 （），代入式（），可得 。（）根据有效秩设置并忽略零对角元素所在行列，可得 。（）忽略 中对应的行可得 （），代入式（）得到（）。（）根据行 满 秩 线 性 方程组 的 最 小 二 乘解公式，可得（）（）（）。（）式中：为 的前行。基于式（）式（）的求解方法适用于任何线性方程组，包括奇异与近似奇异情况。辨识实验与结果分析 实验平台与辨识流程本文以 六自由度机器人为实验对象，使用改进方法建立机器人的运动学方程。机器人与基于改进 法的机器人各连杆坐标系如图所示，图中，为实际机器
12、人基座坐标系，为用于运动学变换的计算基座坐标系，为实际的机器人末端连杆坐标系，为用于运动学变换的计算末端连杆坐标系，为连杆坐标系，为连杆坐标系，为连杆坐标系，为连杆坐标系。相邻连杆之间的变换关系可用个参数实现：关节位置（）、连杆偏移（）、连杆扭角（）、连杆长度（）。相应的机器人参数见表。图 机器人及连杆坐标系 表参数 连杆（）（）机器人动力学参数辨识是一个系统工程，主要包括个步骤：动力学建模与辨识参数集确定、激励轨迹设计、程序生成、程序执行与数据采集、数据处理、辨识线性方程组构建、参数估计和参数验证，其流程如图所示。步骤建立机器人关节力矩计算模型并线性化以及按需要重组参数，以确定具体的关节力矩
13、计算模型和所要辨识的参数。本文以离散参数集作第期周进，等：多轴工业机器人离散惯性参数辨识图动力学参数辨识与验证流程 为辨识对象。步骤设计及优化激励轨迹。具体的激励轨迹设计见 节。步骤编写激励轨迹的机器人程序。本文采用 机器人的 句法编程提供的 样条组和 模块来编写所规划轨迹的机器人程序。步骤在实验机器人上运行激励轨迹程序并采集所需的实验数据。所用机器人可与上位机进行网络通信，并由上位机数据采集程序记录和保存采样的机器人关节位置和力矩值。步骤对采样的实验数据进行必要的处理，以提高训练数据的信噪比。本文在时域上对采样的关节位置和力矩进行了平均化。由于采集的关节位置轨迹光滑，因此，仅采用五点三次平滑
14、法对关节力矩信号进行了适当的滤波处理。通过关节位置轨迹方程的微分公式计算采样点的关节速度和加速度。步骤确定辨识所需的采样数据点，并将处理后的采样点数据代入步骤中建立的线性关节力矩模型计算各参数系数，以构建辨识线性方程组。本文不直接获取各离散参数的系数表达式，而是通过动力学模型（式（）的符号运算获取辨识观测矩阵。步骤基于最小二乘法求解构建的辨识线性方程组，获得辨识的参数值。步骤将辨识的动力学参数代入动力学模型计算验证轨迹下的机器人关节力矩值，并将力矩预计结果与测量的力矩实验结果进行对比，以验证辨识参数的准确性和所提参数辨识方法的可靠性。激励轨迹由于在信号处理中的诸多优点，提出的有限项傅里叶级数轨
15、迹被广泛应用于动力学参数辨识。本文采用该类轨迹作为激励轨迹，第个关节的轨迹为（），（），（），。（）式中：（）为关节的角位置；，为关节的角位置偏移；为基频；为傅里叶级数的谐波项数目；，和，分别为关节的正弦项和余弦项的幅度。为充分激励机器人从而获得精确的动力学参数，在选择激励轨迹类型后，还需根据实际情况优化激励轨迹中的参数。本文采用最小化观测矩阵的条件数作为轨迹优化的指标。的条件数的计算公式为 （）（）（）。（）式中：（）为的最大奇异值；（）为的最小奇异值。设计的激励轨迹的基频为，谐波项数为。实际轨迹优化问题的可行优良解随机分布在解空间中。考虑关节位置、速度和加速度的限制，通过反复实验多条轨迹，
16、选择其中条件数最小的几条轨迹作为辨识轨迹。实验所用 机器人的关节位置、速度限制见表。条辨识轨迹对应的关节位置变化曲线如图所示。表机器人关节位置与速度限制 关节位置限制（）速度限制（），图关节位置轨迹 辨识结果与验证分析辨识获得的 机器人的离散惯性参数和关节摩擦系数见表。可见，辨识的各连杆惯性矩均为正，与实际情况相符。辨识的较大，与关节、的电机均在连杆上且电机和连杆的质量较大导致连杆的总质量较大的实际情况相符。辨识的较小，这恰好与关节的电机在连杆上且连杆为薄壳结构质量较小的情况相符。上述结果表明辨识结果基本可靠。中 国 科 技 论 文第 卷表辨识的参数值 参数辨识值参数辨识值 （），（），（）（）（）（）（）（）（）?（）?（）?（），（），（）（）（）（）（）（）（）?（）?（）?（），（），（）（）（）（）（）（）（）（）?（）（?）（）?（），（），（）（）（）（）（）（）（）?（）（?）（），（），（）（）（）（）（）（）（）?（）?（），（），（）为了充分验证辨识结果和所提辨识方法的可靠性，选择条低速轨迹和条高速轨迹作为验证轨迹。高速验证轨迹和低速验证轨迹下机器人各关节的实测力
