1、 第二节 证明不等式的根本方法、数学归纳法证明不等式 三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.了解证明不等式的根本方法：比较法、综合法、分析法、反了解证明不等式的根本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证法、放缩法等.2.2.理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题一些简单问题;3.3.理解会用数学归纳法证明贝努利不等式理解会用数学归纳法证明贝努利不等式(1+x)n(1+x)n1+nx(x1+nx(x -1,x0,n1,x0,n为大于为大于1 1的自然数的自然数).).了解当了解当n n为大于为大于1
2、1的实数时贝努利的实数时贝努利不等式也成立不等式也成立.1.1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、三角、根本不等式联系在一起综合考查三角、根本不等式联系在一起综合考查.2.2.数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节内容考查的重点，也是难点内容考查的重点，也是难点.1.1.比较法比较法 比较法是证明不等式最根本的方法，有作差比较法和作商比较比较法是证明不等式最根本的方法，有作差比较法和作商比较 法两种法两种.(1)(1)作差比较法的理论依据是作差比较法的理论
3、依据是abab ;ab;a0,1b0,1 ;b1b1 .a a-b0b0 a a-b0bbab abab(2)ab-1,1,那么那么 的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】abab-1,a+1b+10,1,a+1b+10,.答案答案:0,a90,a2a9,a20,a90,a2a9,P=Q.P=Q.答案答案:P:PQ Q 294 7a aP,Q aa,229aa247a a29a a3.3.反证法反证法 1 1假设要证的命题假设要证的命题_，以此为出发点，结合条，以此为出发点，结合条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得
4、到 和和_或已证明的定理、性质、明显成立的事实或已证明的定理、性质、明显成立的事实 等等矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明_，我们把它称为反证法我们把它称为反证法.2 2证明步骤：反设证明步骤：反设推理推理归谬归谬肯定原结论肯定原结论.不成立不成立 命题的条件命题的条件 原命题成立原命题成立 【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考思考:假设假设a,b,c(0,1),a,b,c(0,1),那么那么(1(1-a)b,(1a)b,(1-b)c,(1b)c,(1-c)ac)a能否能否同同 时大于时大于 提示提示:假设假设(1(1-a)b,(1a)b,(1-b
5、)c,(1b)c,(1-c)ac)a同时大于同时大于 ,即有即有(1(1-a)ba)b ,(1,(1-b)cb)c ,(1,(1-c)ac)a ,三式同向相乘三式同向相乘,得得(1(1-a)a(1a)a(1-b)b(1b)b(1-c)cc)c 又又 14141414141.64 221 a a11 b b11 a a(),1 b b(),2 42 4 21c c11cc().24(1(1-a)a(1a)a(1-b)b(1b)b(1-c)c c)c 与假设矛盾与假设矛盾.故故(1(1-a)b,(1a)b,(1-b)c,(1b)c,(1-c)ac)a不能同时大于不能同时大于 1,641.4(2)(
6、2)否认“自然数否认“自然数a a、b b、c c中恰有一个为偶数中恰有一个为偶数时正确的反设为时正确的反设为_._.【解析解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶二奇一偶4 4种，而自然数种，而自然数a a、b b、c c中恰有一个为偶数只包含中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶“二奇一偶的情况，故反设为的情况，故反设为a,b,ca,b,c中至少有两个偶数或都中至少有两个偶数或都是奇数是奇数.答案答案:a,b,c:a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数 4.4.放缩法放缩法 1 1证明不等式时，通过把不等式
7、中的某些局部的值证明不等式时，通过把不等式中的某些局部的值_或或 _，简化不等式，从而到达证明的目的，我们把这种方法，简化不等式，从而到达证明的目的，我们把这种方法 称为放缩法称为放缩法.2 2理论依据理论依据a ab,bb,bc ca_c.a_c.放大放大 缩小缩小 【即时应用即时应用】(1)lg9lg11(1)lg9lg11与与1 1的大小关系是的大小关系是_;_;(2)(2)设设x x0,y0,y0 0，那么那么A A与与B B的大小的大小关系是关系是_._.xyxyA,B1xy1x1y，【解析】【解析】(1)lg9(1)lg90,lg110,lg110,0,lg9lg11lg9lg11
8、1.1.(2)x(2)x0 0，y y0,0,AAB.B.答案答案:(1)lg9lg11(1)lg9lg111 (2)A1 (2)AB B 222l g9 l g11l g99l g100l g9 l g11)()1.222g(xyx yAB,1xy1xy1x1y 5.5.数学归纳法数学归纳法 当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的所有正整数的所有正整数n n都成都成立时，可以用以下两个步骤：立时，可以用以下两个步骤：证明当证明当_时命题成立；时命题成立；假设当假设当n=k(kN+,n=k(kN+,且且kn0)kn0)时命题成立，证明时命题成立，证明
9、_时命时命题也成立题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n n0 0的所有的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=nn=n0 0 n=k+1n=k+1 【即时应用即时应用】1 1思考思考:数学归纳法中的数学归纳法中的n0n0一定是一定是1 1吗？为什么吗？为什么 提示提示:n0:n0不一定是不一定是1,1,一般是指适合命题的第一个正整数，比方一般是指适合命题的第一个正整数，比方证明凸证明凸n n边形的内角和边形的内角和f(n)=(nf(n)=(n-2)2)180180，这里面的，
10、这里面的n n应不小应不小于于3 3，即，即n3(nN+)n3(nN+)，第一个值，第一个值n0=3.n0=3.(2)(2)某个命题与正整数某个命题与正整数n n有关，如果当有关，如果当n=kn=k时该命题成立时该命题成立.那么可那么可推导出当推导出当n=k+1n=k+1时也成立时也成立.现现n=12n=12时，该命题不成立时，该命题不成立.那么可推那么可推得得n=_n=_时，该命题不成立时，该命题不成立.【解析解析】n=12n=12时，命题不成立时，命题不成立.n=11.n=11时命题不成立时命题不成立.同理同理n=10n=10、9 9、8 8、2 2、1 1时命题均不成立时命题均不成立.答
11、案：答案：1 1、2 2、3 3、1111 用比较法证明不等式用比较法证明不等式 【方法点睛方法点睛】1.1.作差比较法作差比较法 (1)(1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论论.其中其中,变形整理是关键变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号变形的目的是为了判断差的符号,常常用的变形方法有用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)(2)假设所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比假设所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法较法.2.2.作商比较法
12、作商比较法 (1)(1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1 1的大小关的大小关系系,得出结论得出结论.(2)(2)利用作商比较法时，要注意分母的符号利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法也常用作商比较法.【例例1 1】求证：求证：(1)(1)当当xRxR时，时，1+2x42x3+x2.1+2x42x3+x2.(2)(
13、2)当当a a，b(0b(0，+)+)时，时，aabbaabb 【解题指南解题指南】第第1 1小题的不等式为一元型的整式不等式，小题的不等式为一元型的整式不等式，因此可考虑利用作差比较法证明；第因此可考虑利用作差比较法证明；第2 2小题是幂指数型的小题是幂指数型的不等式，可考虑采用作商比较法证明不等式，可考虑采用作商比较法证明.ab2a b.【标准解答标准解答】(1)(1)方法一：方法一：(1+2x4)(1+2x4)-(2x3+x2)(2x3+x2)=2x3(x=2x3(x-1)1)-(x+1)(x(x+1)(x-1)1)=(x=(x-1)(2x31)(2x3-x x-1)1)=(x=(x-1
14、)(2x31)(2x3-2x+x2x+x-1)1)=(x=(x-1)2x(x21)2x(x2-1)+(x1)+(x-1)1)=(x=(x-1)2(2x2+2x+1)1)2(2x2+2x+1)=(x=(x-1)22(x+)2+01)22(x+)2+0，1+2x42x3+x2.1+2x42x3+x2.1212方法二：方法二：(1+2x(1+2x4 4)-(2x(2x3 3+x+x2 2)=x=x4 4-2x2x3 3+x+x2 2+x+x4 4-2x2x2 2+1+1 =(x=(x-1)1)2 2xx2 2+(x+(x2 2-1)1)2 200 1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2.
15、(2)(2)当当a=ba=b时，时，=1.=1.当当a ab b0 0时，时，1 1，0 0，那么，那么 1.1.当当b ba a0 0时，时，0 0 1 1，0 0，那么，那么 1.1.综上可知，当综上可知，当a a、b(0b(0，+)+)时，时，aabb aabb 成立成立.a b b aa ba b222a b2abaa bba b（），ab2ab（）abab2ab2ab（）abab2ab2ab（）ab2ab【反思反思感悟感悟】1.1.利用作差比较法时利用作差比较法时,变形的目的在于判断差变形的目的在于判断差 的符号的符号,而不必考虑差的值是多少而不必考虑差的值是多少.假设遇到结果符号不
16、能确定的假设遇到结果符号不能确定的 情况情况,这时要对差式进行分类讨论这时要对差式进行分类讨论.2.2.在作商比较中在作商比较中 1 1a ab b是不正确的是不正确的,这与这与a,ba,b的符号有关的符号有关,比方比方:假设假设b b0,0,由由 1,1,可得可得a ab,b,但假设但假设b b0,0,那么由那么由 1 1得出的得出的反反 而是而是a ab.b.也就是说也就是说,在利用作商比较法时在利用作商比较法时,要对要对a a、b b的符号作出的符号作出 判断判断.ababab 用综合法或分析法证明不等式用综合法或分析法证明不等式 【方法点睛方法点睛】1.1.综合法与分析法的逻辑关系综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果用综合法证明不等式是“由因导果,分析法证明不等式是“执分析法证明不等式是“执果索因果索因，它们是两种思路截然相反的证明方法，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见往往用分析
