1、第三章第三章 多维随机向量及其概率分布多维随机向量及其概率分布 1 在前一章中,所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但是在很多随机现象中，每一次试验的结果仅用一个随机变量来描述是不够的，而是要用多个随机变量来描述.例如,射击的弹着点要用横坐标和纵坐标两个变量来描述；对于钢的成份，需要同时研究它的含碳量，含硫量，含磷量；等等这样，对应每一个基本结果（样本点），试验的结果需要用n个随机变量1X,2X,nX,来表示我们不但要知道每个随我们不但要知道每个随机变量机变量(1,2,)iX in的概率分布，而且更重要的是的概率分布，而且更重要的是要掌握它们间的相互关系，即要掌握随机向量要掌握它们间的相互关
2、系，即要掌握随机向量12(,)nXXX整体的概率性质和统计性质。整体的概率性质和统计性质。本章将介绍多维随机变量的概念，重点放在二维随机变量 2 3.1 二维随机向量及其联合分布函数二维随机向量及其联合分布函数 定义定义3.1.1 设随机变量X,Y定义在同一样本空间S上，称由它们构成的二维向量(X,Y)为二二维随机向量维随机向量，亦称为二二维随机变量维随机变量 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y各自的性质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.3 定义定义 3.1.2 设YX,是二维随机变量
3、，对任意实数yx,，称二元函数 yYxXPyYxXPyxF,为二维随机变量YX,的分布函数分布函数或X与Y的联合分联合分布函数布函数 4 XYO),(yxO),(yxF可视为随机点),(YX落在以),(yx为顶点的 左下方的无穷矩形的概率.分布函数的几何意义分布函数的几何意义 5),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP设 2121,yyxx,则有),(11yx),(22yx),(21yx),(12yx图2 XYO6 定理定理 3.1.1 二维联合分布函数(,)F x y具有如下的性质：（2）有界性有界性 对任意的 x 和 y，有1,0yxF，且
4、0,limyxFx0,limyxFy1,limyxFyx（1）右连续性右连续性 yxF,关于变量x或y都是右连续的（3）非负性非负性 对于任意21xx,21yy 有 22211211,0F x yF x yF x yF x y 二元函数能否成为某二维随机变量分布二元函数能否成为某二维随机变量分布函数的充分必要条件函数的充分必要条件.7 边缘分布函数边缘分布函数 由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的分布函数,并且(),(,)XFxP XxP Xx YF x(),(,)YF yP YyP XYyFy分别称()XFx和()YFy为(,)X Y关于 X 和 Y 的边边际分布函数际分布函数，简
5、称边际分布边际分布或边缘分布边缘分布 8 1e,0()(,)0,0 xXxFxF xx 1e,0()(,)0,0yYyFyFyy 例例 3.1.1 假设二维随机变量YX,的联合分布函数为 1 eee0,0,0 xyx yxyxyF x y 其它 称这分布为二维指数分布二维指数分布，其中参数0 利用上面所给公式，容易求得YX,关于随机变量X和Y的边缘分布函数分别为 9 注意注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他们作为一个整体来研究.整体大于部分之和整体大于部分之和!10 3.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义定义3.2.13.2.1 如
6、果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.,2,1,jipyYxXPijji则称上式为(X,Y)的联合联合分布律分布律.假设二维随机变量YX,的所有可能取值为(,),1,2,ijx yi j，并且 11 联合分布律的基本性质联合分布律的基本性质（1）非负性非负性 10ijp ,2,1,ji（2）规范规范性性 1ijijp 12 联合分布律也常写成如下表格的形式:XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp13 1,2,3,4,1.(,)().XYXX YP XY设随机变量在四个整数中
7、等可能地取值 另一个随机变量在中等可能地取一整数值试求的分布列及例例3.2.1 解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX ,4,3,2,1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1 i.ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX14 XY1234123441811211610811211610012116100016111223344()P XYpppp254815 由于 1)(,jjiiyYxXPxXP故关于X的边缘分布律为:1iiijjpP Xxp11,),(jjijjiyYxXPyYxXP同理关于Y
8、的边缘分布律为 1jjijipP Yyp16 XYijijpppp11111xix1yjyip1pipjp1pjp联合分布律与边缘分布律的表格形式联合分布律与边缘分布律的表格形式 17 例例3.2.23.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两次,每次取一件,记 2,1,0,1iiiXi次取到次品第次取到正品第分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的联合分布律和边缘分布律.解解 (1)有放回的情形.此时 00120,0pP XX254525218 类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:ijp),(21XX1X2X0 1 0 1 25425
9、6259256ip53525352jp19(2)无放回的情形.此时 10141520|000,01212100XXPXPXXPp1X2X0 1 0 1 101103103103ip53525352jp 注注:两种情形的边缘分布律是相同的两种情形的边缘分布律是相同的!类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:ijp),(21XX20 例例3.2.33.2.3 设二维随机变量 的分布律为),(YXXY1y2y1x2x0.1 ab0.4 已知.32)|(22yYxXP试求常数a,b的值。.解解 由 0.10.41ab以及 324.04.0,|22222ayYPyYxXPyYx
10、XP解得 3.0,2.0ba21 3.3 3.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义3.3.1 设 是二维随机变量 的联合分布函数,如果存在一个非负函数 ,使得),(yxF),(YX(,)f x y(,)(,)d dyxF x yf u vu v 则称 是二维连续型随机变量,称 为 的概概率密度率密度,或者称为 与 的联合概率密度联合概率密度.),(YX(,)f x y),(YXXY3.3.1 3.3.1 联合概率密度联合概率密度 22 联合概率密度的基本性质联合概率密度的基本性质:1)(,)0;f x y 2)(,)d d1f x yx y 23 概率密度还有如下性质概率密度还有
11、如下性质:1)设D为任意平面区域,有(,)(,)d dDPX YDf x yx y2)在 的连续点 处,有(,)f x y),(yx2(,)(,)F x yf x yx y 3)若平面区域D的面积为0,则 0),(DYXP24(2)(,)2e,0,0,(,)0,.(1)(,);(2).x yX Yxyf x yF x yP YX设二维随机变量具有概率密度其它求分布函数求概率例例3.3.1 解解(1)(,)(,)ddxyF x yf u vvu(2)002edd,0,0,0,.xyu vvu xy 其他2(1 e)(1 e),0,0.(,)0,.xyxyF x y得其他25,),(GYXXY )
12、,(GYXPXYP (2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有 XY GxyO(,)d dGf x yxy(2)02eddx yyxy.31 26 由于()(,)(,)d)d()dxxXXFxF xf u vvufuu 所以,关于X的边缘概率密度为:yyxfxfXd),()(同理,关于Y 的边缘概率密度为:xyxfyfYd),()(27 例例3.3.23.3.2 设(X,Y)的概率密度为)1)(1(),(22yxAyxf求:1)常数 ;2)联合分布函数 ;A),(yxF)0,1(YXP4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的
13、正方形内的概率;5)边缘密度函数).(),(yfxfYX3)28 解解 1)yxyxAyxyxfdd)1)(1(dd),(122 222arctanarctand)d)1(1(11AyxAxyyxA21A29 2arctan2arctan1arctanarctan2yxvuAyx xyvuvufyxFdd),(),(2)xyvuvuAdd)1)(1(2230 3)10dd),(0,1yxyxfYXP 81241arctanarctan1dd)1)(1(11201210222 yxyxyx31 4)设D为如图所示的单位正方形区域,则所求的概率为 O yx1 1(1,1)D1010222dd)1)
14、(1(11),(yxyxDYXP161arctanarctan110102yx32 5)yyxyyxfxfXd)1)(1(11d),()(222)1(1arctan)1(1222xyx同理)1(1)(2yyfY注意注意:在本例中,有)()(),(yfxfyxfYX33 例例3.3.33.3.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为 3arctan2arctan),(yCxBAyxF1)求常数A,B,C的值;2)求 的概率密度 ;),(YX),(yxf3)求边缘概率密度).(xfX 解解 1)由于 22),(1CBAF22),(0CBAF22),(0CBAF解得:21A2 CB34 2)由性质,得)
15、9)(4(6222yx3)22216()(,)dd(4)(9)Xfxf x yyyxy)4(23/arctan)4(23/13/)4(2222222xyxyydx22223/13/12/12/11),(),(yxyxyxFyxf35 例例 3.3.4 已知二维随机变量YX,的联合密度函数为 e0,0yAxxyf x y 其它 求(1)常数A；(2)2YXP；(3)边缘密度函数 Xfx,Yfy 解解 (1)因为,d d1f x yx y 01ed dyxAx x y 即 0dedyxAx xy0e dxAxxA所以1A yx36 (2)22(,)d dx yP XYf x yx y 120eed
16、xxxxx121 2ee yx2xy21120ded dxyxxxx y(3)显然当0 x时，Xfx=0，当0 x时，,dXfxf x yyedyxxyexx即 e0()00 xXxxfxx212e0()00yYyyfyy同理 37 3.3.2 二维均匀分布二维均匀分布 设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为 其它,0),(,1),(DyxSyxfD则称 服从区域区域D上的均匀分布上的均匀分布.),(YX38 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中任一子区域G,有 1(,)(,)d dd dGDDGGSPX YGf x yx yx ySSG D 于是(X,Y)落在D中任一子区域G的概率与与G的面积成正比的面积成正比,而与而与G的形状和位置无关的形状和位置无关。在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能等可能”的。二维均匀分布二维均匀分布 39 例例3.3.53.3.5 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布，求X与Y的边缘概率密度。1:),(22yxyxD其它,01,1),(22yxyxf 解解 由题意知,(X
