1、4.7 三角函数的综合应用一、明确复习目标1. 掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角； 2掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。二建构知识网络1. 三角函数的性质和图象变换;2. 三角函数的化简,求值,证明恒等变形的策略与技巧.3. 正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形;4在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角:(1) (2)arccosa表示0，上余弦值等于a的角,a1,1;(3) (4) 对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反
2、三角的关系进而求出. 例如:sin=0.3, 是钝角,那么=arcsin0.3.三、双基题目练练手1. ，那么x等于 （ ） 2.假设A、B是锐角ABC的两个内角，那么点P（cosBsinA，sinBcosA）在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，那么( ）ACDB阳光地面A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形4. 如图，ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A.75
3、B.60C.50D.455（2023上海）假设x=是方程2cos（x+）=1的解，其中（0，2），那么=_.6（2023北京西城二模）函数y=sinx(sinx+cosx）（xR）的最大值是_.答案:1-4.CBDC; 2.A+B.AB，BA.sinAcosB，sinBcosA.,P在第二象限.3.sinA2=cosA1,A1、B1、C1是锐角。如果A2、B2、C2也是锐角，那么，矛盾，应选D。4.作CE平面ABD于E，那么CDE=40,延长DE交直线AB于F，那么CFD是遮阳棚与地面所成的角，在CFD中，=.DF=.当=50时，DF最大.答案：C; 5.; 6. 最大值为1+=.四、经典例题
4、做一做【例1】求角(用反三角函数表示):(1)tanx=3,x0.2求x的值;(2)cos2=,(0,),sin=-,(, )求+.解：(1)在上,时,tanx=3;在上,x=arctan3或+arctan3.(2)由;得sin=,从而cos=,且cos=-又+(,2)cos(+)=coscos-sinsin=-.+=即+=2-arccos 提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如此题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。【例2】（2023启东质检）A、B、C是三内角，向量，且，（1）求角A；（2）假设，求解:（
5、1） ，即 , ， （2）由题知，整理得，或而使，舍去，【例3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)假设在时刻t城市O受到台风的侵袭,那么由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得解法二:如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心的
6、坐标为 此时台风侵袭的区域是，其中t+60， 假设在t时，该城市O受到台风的侵袭，那么有即即， 解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和的边角等条件，再设计出合理的解题方案。【例4】函数的图象向右平移个单位得到函数的图象. 求函数的表达式;证明当时，经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.解：（I）（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当时是增函数在即的每一个区间上是增函数当时，在是增函数,那么当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零【研讨.欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要
7、修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB局部为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以AOB=135.又O到AB的距离为10.设OAB=，那么OBA=45.所以a=，b=，ab=，当且仅当=2230 时，“=成立.所以|AB|2=400（+1）2，当且仅当a=b，=2230时，“=成立.所以当a=b=10时，即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（1）.法
8、二;法三:|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，温馨提示:1.假设直接建立|AB|2与角的函数关系,求最值值困难;2.先视|AB|2为a,b的函数放缩,再把ab看成的函数求出最小值;3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立.五提炼总结以为师1. 三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角；2正、余弦定理解斜三角形的方法；3三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等；实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。同步练习 4.7 三角函数的综合应用 【选择题】1.（2022北京西城一模）设0|，那么以下不等式中一定成立
9、的是A.sin2sinB.cos2cosC.tan2tanD.cot2cot2.己知0a1，那么实数,的大小关系是 ( )(A)MNP (B)MPN (C)MNP (D)MPN3.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( C )A.它的定义域是-1，1 B.它是奇函数 C.ycos1,1 D.不是周期函数4.（2023启东市调研）在斜ABC中，sinA=cosBcosC且tanBtanC=1，那么A的值为 ( )A.B.C.D.【填空题】5.函数y=sinxcosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_个单位得到.6. x（0，）,那么函数y=的值域是_.练习简答：1-4. B
10、BCA；4.由.sinA=sin（B+C）=cosBcosC，得tanB+tanC=1.又tan（B+C）=，tanA=. A=.5.; 6. y=.令=m，m（，1），那么y=2m2+3m1.（0，.【解答题】7(1)，求角的集合;(2)cosx=-0.4,x0,2,求角x的集合.解：先找出一个周期上的角,再加上周期.(1) 在上,; 在上,所求角x的集合为：（常写成）(2) 当;当综上得8为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成角的直线型轨道上运动的情况，如下列图，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道按箭头的方向运动。问： （I）运动开始前，A、
11、B的距离是多少米？（结果保存三位有效数字）。 （）几分钟后，两个小球的距离最小？ A A/ O l1 l2 B/ B 解：小球开始运动前的距离为： （2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A、B处，那么当时，当时，故 当，故分钟后两个小球的距离最小。9 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且PF1F2=，PF2F1=2，求证：椭圆的离心率为e=2cos1. 剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，e=.在PF1F2中解此三角即可得证.证明：在PF1F2中，由正弦定理知=.由比例的性质得=e=2cos1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.10中，内角.的对边分
12、别为.，.成等比数列，且（1）求的值；（2）假设，求的值解:（1）由得：由及正弦定理得：于是：（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得：于是：故：a+c【探索题】(2023上海)对定义域是.的函数.，规定：函数（1）假设函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）假设，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明 解 (1) (2) 当x1时, h(x)= =x1+2, 假设x1时, 那么h(x)4,其中等号当x=2时成立假设x1时, 那么h(x) 0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(,014,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=那么g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2xsin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2xsin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1sin2x)=cos4x.
