1、10.9离散型随机变量的期望与方差一、明确复习目标了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.二建构知识网络1.平均数及计算方法(1)对于n个数据x1，x2，xn，=（x1+x2+xn）叫做这n个数据的平均数， (2)当数据x1，x2，xn的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a.(3)如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（f1+f2+fk=n），那么=,叫加权平均数.2.方差及计算方法(1)对于一组数据x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（x
2、n）2叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.(2)方差公式: s2=（x12+x22+xn2）n2(3)当数据x1，x2，xn中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna那么s2=（x12+x22+xn2）n3.随机变量的数学期望: 一般地，假设离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn那么称 E=x1p1+x2p2+xnpn 为的数学期望，简称期望.也叫平均数,均值.(1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)期望的一个性质:E(a+b)=aE+b（3）求期望的方法步骤： 确定随机变量的所有取值
3、;计算第个取值的概率并列表; 由期望公式计算期望值。4. 方差: D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+(1) 标准差:D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作(2)方差的性质： D(a+b)=a2D; D=E(2)-(E)2(3)方差的求法步骤：求分布列; 求期望; 由公式计算方差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。5.会用求和符号:如E=xi pi，D=（xiE）2pi，6.二项分布的期望和方差：假设B(n，p)，那么E=np, np(1-p)7.几何分布的期望和方差：假设服从几何分布g(k，p)= ，那么 ，证明: 令
4、，三、双基题目练练手1.（2023江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A.9.4, 0.484 B9.4, 0.016 C9.5, 0.04 D9.5, 0.0162.设导弹发射的事故率为0.01，假设发射10次，其出事故的次数为，那么以下结论正确的选项是 ( )A.E=0.001B.D=0.099C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命
5、中后的剩余子弹数目的期望为A.2.44B.3.376C.2.376D.2.44. (2023福建)一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，那么向上的数之积的数学期望是。5. (2023四川)设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4.P(k)ak+b(k=1，2，3，4),又的数学期望E3，那么_ 6.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，E1=E2，D1D2，那么自动包装机_的质量较好.7.假设随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次试验中发生的次数，那么的最大值为 .解：随机变量
6、的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，从而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.=2（2p+）22当且仅当2p=，即p=时，取得最大值22.答案:1-3.DBC; 3. P（=0）=0.43，P（=1）=0.60.42，P（=2）=0.60.4，P（=3）=0.6，E=2.376;4.; 5.得, .6.包装的重量的平均水平一样,甲机包装重量的差异大，不稳定,答案：乙四、经典例题做一做【例1】 (1)一枚骰子的六个面上标有1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上面的点数为,求E、E(2+3)和D。(2) 假设随机变量的分布列为P(=k)
7、= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(6-3.5)2=17.5=2.92(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)设为该生选对试题个数，为成绩。那么B(50，0.7)
8、，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5【例2】(2023年安徽)在添加剂的搭配使用中，为了找到最正确的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，（）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）.（）求的数学期望E.（要求写出计算过程或说明道理）.解：（I）的分布列为123456789P（II
9、）由的定义得.【例3】(2023山东)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为，那么解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，那么事件A和事件B是互斥事件，因为, 所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随
10、机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间的事件记为，那么【例4】（2023全国）某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）假设抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购置这批产品，求这批产品给用户拒绝购置的概率。解：（I）可能的取值为0，1，2，3.，. 的分布列为0123数学期望为E=1.2.（II）所求的概率为 【研讨.欣赏】（2023辽宁）现有
11、甲、乙两个工程，对甲工程每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;乙工程的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙工程产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙工程产品价格在一年内的下降次数为,对乙工程每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1、2分别表示对甲、乙两工程各投资十万元一年后的利润.（I）求1、2的概率分布和数学期望E1、E2;（II）当E1E2时,求的取值范围.解（I）法一：1的概率分布为 11.21.181.17P由题设的B(2,p)，即的概率分布为012P故2的概
12、率分布为21.31.250.2P所以2的数学期望为 解法二：1的概率分布为11.21.181.17P设表示事件“第 i 次调整，价格下降（i=1,2），那么 故2的概率分布为21.31.250.2P(1-p)22p(1-p) P2所以2的数学 （II）解：由，得， 整理得， 解得。 因为，所以，当时，得取值范围是。五提炼总结以为师1.离散型随机变量的期望和方差的意义.2.求期望与方差.首先应先求出分布列，再代公式求期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：4.二项分布的期望与方差：假设B（n，p），那么E=np，D=np（1p）.同步练习 10.9离散型随机变量的期望与方
13、差 【选择题】1.下面说法中正确的选项是 （）A.离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。B.离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平。C.离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平。D.离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值。2.是x1，x2，x100的平均数，a是x1，x2，x40的平均数，b是x41，x42，x100的平均数，那么以下各式正确的选项是 ( )A.=B.= C.=a+bD=3.设是随机变量,a、b是非零常数,那么以下等式中正确的选项是 ( )A.D(a+b)=a2D+b B.E(a)=a2EC.D(a)=a2D D.E(a+b)=a【填空题】4.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_.5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选
