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2023年高中数学奥赛系列辅导资料函数奥赛竞赛练习教案.docx

上传人:g****t 文档编号:582394 上传时间:2023-04-11 格式:DOCX 页数:7 大小:13.83KB
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1、函数奥赛竞赛练习一、选择题1(2022年北京市中学生数学竞赛)已经知道函数y=f(x)有反函数,现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位,所得图形表示的函数的反函数是( )ABCD二、填空题2(2022年全国高中数学联赛)函数的值域为_。3(2022年全国高中数学联赛)不等式的解集为_。4(2022年北京市中学生数学竞赛)函数f(x)关于任意非负实数x、y都满足,且f(x)0,f(1)0,那么=_。三、解答题5(2022年北京市中学生数学竞赛)f(x)是定义在R上的函数,对任意的xR,都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2,设g(x)=f(x)-x,(1)求证g(x)是

2、周期函数;(2)假设f(998)=1002,求f(2022)的值。6(2022年全国高中数学联赛)假设函数在区间a,b上的最小值为2a,最大值为2b,求区间a,b。7(第一届“希望杯全国邀请赛试题)求函数在区间-1,1上的值域。8(第九届“希望杯全国邀请赛试题)假设实数x满足不等式。试求函数的最大值。9(2022年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)作函数的图象。10(2022年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)函数是偶函数依然奇函数?11(第五届北京高中数学知识应用竞赛)中国青年报2001年3月19日报道:中国挪动通讯将于3月21日开场在所属18个省、市挪动通讯公司陆续推出“全球通挪动资费“套餐,

3、这个:“套餐的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。详细方案如下:方案代号根本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间的话费(元/分钟)1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原计费方案的根本月租为50元,每通话一分钟付元,请咨询:(1)“套餐中第4种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和,每次通话用时以分为单位取整计算,如某次通话时间为3分20秒,按4分钟计通话用时)的函数关系式;(2)取第4种收费方式,通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱;(3)据中国挪动

4、2022年公布的中期业绩,每户通话平均为每月320分钟,假设一个用户的通话量恰好是这个平均值,那么选择哪种收费方式更合算,并说明理由。参考答案1A 由于“抽象没有详细的函数表达式,使标题显得有些难,化难为易的方法因而也确实是化抽象为详细,不妨设f(x)=x+1(如此符合原题“f(x)有反函数的规定)。因而以下种种全详细化了。反函数是,向左平移2个单位所得图形表示的函数。这个函数的反函数,再与4个选择来对照。A项是符合,B项是不合,C项是不合,D项是不合。应选A。2两边平方得,从而且。由或y2。任取y2,由,易知x2,因而。任取,同样由,易知x1。因而。因而,所求函数的值域为。3等价于或。即或。

5、如今,或或。解为x4或0x1或。即解集为。4这题f(x)不容易详细化,但是它的值那么是能够详细化的。例如设x=0,y=0。那么由,得,f(0)=0。再设x=0,y=1。得,以f(0)=0代入,已经知道f(1) 0,。设x=1,y=1,得,即。设x=2,y=1,得,。设x=0,得,。设x=0,得,即,。至此可求,。5解:本例的难度显然又有增加,主要是难以详细化。只能在抽象的层面来处理咨询题(1)g(x)=f(x)-x,可得g(x+2)=f(x+2)-x-2,g(x+3)=f(x+3)-x-3,再以f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代换,可得,由可得g(x+4) f(x+2)-

6、x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x,g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x,由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函数获证(6是它的一个周期)(2)2022-998=1002是6的整数倍,因而g(2022)=g(998),即f(2022)-2022=f(998)-998f(2022)=f(998)+1002=1002+1002=2022。此题的不同之处在于没有“详细化,而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系,进而得到g(x+6)=g(x),以到达证明的目的。6解f(x)

7、的最大值只能是,或f(a),或f(b),f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一,令,且,即可得关于a、b的方程组,解出a、b的值。当a值由负值增大到正值时,区间a,b在x轴上自左向右挪动,因而在求f(x)的最值时,须按区间a,b的位置分类求解。f(x)图象顶点坐标为,。(1)当ab0时,由f(x)在a,b上单调递增得,f(a)=2a,且f(b)=2b即因而a、b是二次方程的两个负根,但此方程两根异号,故区间a,b不存在(2)当a0a0时由f(x)在a,b上单调递减得,f(a)=2b,且f(b)=2a,即解得或(舍去)即得区间1,3。综上所述,所求区间为1,3或7解:。值域为。8解:。

8、9解:研究2种情况。,即x1。因而。,即x600时,解不等式50268+0.45(t-600),得600t1040(tN),综上,545t1040时(tN),第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱。(3)由于按照原来的收费方式,320分钟收费178元(即320),因而,不会选择月租费多于178元的收费方式,从而只考虑“套餐中的前三种方式。第一种方式的话费为:30+0.6(320-48)=(元);第二种方式的话费为:(320-170)=188(元);第三种方式的话费为:168元。应选择第三种方式。事实上,相关于原收费方式,当通话时间大于244分钟时,第一种方式不合算,当通话时间只有在120分钟至270分钟时,第二种方式较合算。

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