1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第三讲 数列的极限脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解语言描述数列的会用了解数列极限的概念，NN念和性质。量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级P本章学习要求：第二章 数列的极限与常数项级
2、数第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质.)(为定义域的函数是以正整数集设Znf ,)(|)(NnnfxxZffnn=+的值域将 ,增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数：,21nxxx称为一个数列,记为 xn.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列2.数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1,2 ,8 ,4 ,2 :2 )1(nn.2 :nnx=通项xnx2x1n214121x0 x381 ,21,81,41,
3、21 :21 )2(nn.21 :nnx=通项011nx212 nxx,)1(,1,1 ,1,1 :)1()3(11nn.)1(:1=nnx通项所有的奇数项所有的偶数项xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,)1(1,31 ,0 ,21 ,0 ,1 ,0 :)1(1 )4(nnnn+.)1(1 nxnn+=通项：所有奇数项1xnx3x2x1x02132431+nn ,1 ,43 ,32 ,21 :1 )5(+nnnn.1 :+=nnxn通项3.数列的性质单调性有界性则称满足若 ,21nnxxxx(1)数列的单调性.,nnxx记为严格单调增加单调增加则称满足若 ,21nnxxxx.,
4、nnxx也记为单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？有谁来说一说.则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx记为严格单调增加单调减少则称满足若 ,21nnxxxx.,nnxx也记为单调增加不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？,|)(|,I ,0 成立有时使得当若MxfxM .I )(上有界在区间则称函数xfOxyMMMy=My=()I)(xfy=,|,0 成立使得若NnMxMn.是无界的否则称有界则称数列nnxx数列的有界性的定义有界的数列在数轴上
5、和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：|xn|0,不论它的值多么小,当 n 无限增大时,数列 xn 总会从某一项开始,以后的所有项都落在 U(0,)中.0 010)1(|0|=nnnx ,0 N（在 U(0,)外面只有有限项）,时当Nn 0 010)1(nn ,0 N ,时当Nn:010)1(lim=+nnn其中,是描述点 xn与点 0 无限接近的0度量标准,它是预先任意给定的,与xn的极限存在与否无关.,本身取决于数列是否存在nxNNN ,;,则数列无极限存在则数列有极限不存在.,NN所有大于则其不唯一存在如果 ,.有关与并且的正整数均可取作为NN ,),(则值越小一般说来可记为NN=.
6、的值越大N由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0,N=N().不等式010)1(nn称为目标不等式.limaxnn=+一般地,如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限,记为xn 可以无限地趋近某个常数 a,则称数此时,也称数列是收敛的.例4=+nn21lim=+nnn)1(1lim=+1limnnn001若 xn当 n 时没有极限,则称 xn发散.,0若,0N时,使当Nn|axn记为,limaxnn=+或.)(naxn此时,也称数列 xn 是收敛的.,时的极限当为数列则称数成立nxan极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取
7、到它的极限值.数列极限的定义：例5.021lim =+nn证明：证证,0021 n由.021lim=+nn 021 nn2112 n1log2 n,1log,0max2=N故取则 n N 时,由极限的定义,得).1|(0lim =+aann一般有例6.0sin1lim =+nnn证明：证证,0,0sin1 nn要,1 sin 1 nnn只要,1 时则当故取NnN=nnnnn1 sin 1 0sin1 成立.由极限的定义可知:.0sin1lim=+nnn放大不等式法.,不唯一时利用极限存在N例7.lim ,:aaaaaxnn=+证明设证证,0有时则当取 ,1 NnN=0|aaaxn.lim .a
8、an=+故由极限的定义可知：成立通常说成：常数的极限等于其自身.,1)1(lim ,55lim=+nn例8.|lim ,lim :axaxnnnn=+则若证明证证,0 0,lim =+Naxnn所以因为.|,axNnn有时当由绝对值不等式,得,|axaxnn.|lim axnn=+故有注意：该例题结论的逆命题不真.例如,(1)n.例9证证 .,lim ),12(lim ),2(lim +=Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中则满足证明：如果 ,0 ,0 ,)2(lim 1时当由NnNmnaxnn=+,0 ),12(lim 2时当由NnNmnaxnn=+);2(|mnaxn=,)12(|
9、=mnaxn,|,max 21=axNnNNNn恒有时则当取 .lim axnn=+故由极限定义得：逆命题成立吗？例10证证 .1lim:,1,1=+=+nnnxnnnnnnx证明为奇数当为偶数当设 ,0 ,1 1 ,11 =nnnnnn即要要 ,1 11有为偶数时则当故取nNnN=;11 nn ,1 1 ,11 ,=+nnnnnn即要要同理 ,1 22有为奇数时则当故取nNnN=;11+nn ,max 21时则当取NnNNN=11 与nn ,11 同时成立+nn ,|1|,即成立时当所以nxNn .1lim=+nnx1.唯一性定理若数列 xn收敛,则其极限值必唯一.三、数列极限的性质设数列
10、xn收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证证运用反证法.,lim ,limbabxaxnnnn=+,0 ,于是;|,0 11axNnNn时当;|,0 22bxNnNn时当,max 21时则当取NnNNN=2|+=bxaxbxxabannnn任意性常数由的任意性,上式矛盾,故 a=b.唯一性定理的推论 lim axnn=+nx的任何一个子数列都收敛,且均以 a 为极限.充分必要条件何谓子数列？子数列的概念在数列 xn:x1,x2,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为.knx唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在例11.
11、)1(lim 1+nn求解解,)1(1=nnx.,)1(,1,1 ,1,1 :1nnx取子数列：,)1(,1,1,1,:1)1(212nnx ,)1(,1,1,1,:122nnx,1)1(limlim ,11limlim 212=+nnnnnnxx而.)1(lim 1不存在故+nn例12.8sin 的敛散性判别nxn=解解利用函数的周期性,在 xn中取两个子数列:得子数列：令 ,8 )1(Nkkn=,sin ,2sin ,sin :sin 8sin kkn=.00limsinlim ,0sin =+nnkNkk所以由于得子数列：令 ,416 )2(Nkkn+=),22sin(,25sin :)
12、2sin(2 8sin+=kkn.11lim)22sin(lim =+nnk此时.)(8sin :即极限不存在是发散的故由推论可知n:limaxnn=+有时当 ,0,0 NnN|axn|axaxnn+|axn,则似乎可以得到如果固定?有界的结论nx 回想数列的极限2.有界性定理若数列 xn收敛,则 xn必有界.证证1=,limaxnn=+设则由极限定义,取时,0N,时当Nn 1|=axn|1|axn+即有|,|,|,|,|1max 21NxxxaM+=取则NnMxn ,|由数列有界的定义得：数列 xn收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,(1)n.有界性定理的推论：即
13、无界数列的极限不存在.无界数列必发散.例13 ,2 ,8 ,4 ,2:2nn ,8 ,0 ,4 ,0 :)1(1(nn+无极限发散无界,无极限发散无界,发散的数列不一定都无界.例如,(1)n .收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.)1(:nnx=反例:limaxnn=+有时当 ,0,0 NnN|axnaxn 即+axan?,论你认为可能得到什么结由此 回想数列的极限3.保号性定理 ,0 ),0(0 ,lim=+Naaaxnn则若).0(0 ,nnxxNn有时当证证,0 ,lim 则由极限的定义且设=+aaxnn有时当时取 ,0 ,02 NnNa=,2|aaxn=由绝对值不等式的知识,立即得.20nxaaa 0 的情形类似可证,由学生自己完成.,)0(0 nnxx若保号性定理的推论1：,lim 存在且axnn=+.)0(0 aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明保号性定理的推论2：,),0 ()(00时当或若NnNNnyxyxnnnn则存在且 ,lim ,lim byaxnnnn=+.)limlim(limlimbyxabyxannnnnnnn=+在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号.
