1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十六讲 求导法则脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有
2、关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四章 一元函数的导数与微分第二节 求导法则一.基本初等函数的导数二.导数的四则运算法则三.反函数的导数四.复合函数的导数五.隐函数的求导法则六.参数方程求导法则七.取对数求导法一.基本初等函数的导数推导一些基本公式啊！1.y=Cx R(C为常数)Q=xyx0lim=xCCx0lim00lim0=x 0)(=C通常说成：常数的导数为零.2.幂函数xxxxx=0limxxxxx+)(lim0Q）（Rxy=xyx0limxxxxx+=11lim0110lim=xxx )(1=xx等价无穷小替代.11)(011
3、=xxx自变量对其本身的导数为1)(1dd1=xxx211)1(=xx,12x=.3)(23xx=)()(21=xx211212121=xx,21x=例13.指数函数xaaxyxxxxx=+00limlimQxaxaxx=lnlim0)0(=aayxxaaxxx=1lim0aaxln=ln)(aaaxx=)(xxee=)4(x=)(xbabxbaaln)(=abaxbln=4ln4x)(xba)0(为常数、ba 例24.对数函数xxxxx+ln)ln(lim0Qxxxxx1lim0=)0(ln=xxy=xyx0limxxxx+=1lnlim0 1)(ln xx=等价无穷小替代xyalog=,)
4、0,0(xa求y.Qaxxyalnlnlog=xxxxaax+log)(loglim 0 ln1)(log axxa=xxxax+=1lnlimln10axln1=等价无穷小替代故解例35ln1)(log5xx=21ln1)(log21xx=2ln1x=1)(lnxx=ln1)(logaxxa=ea例4或重要极限5.三角函数(1)xxxxxyxx+=sin)sin(limlim00Qxxxxx+=2sin2cos2lim0+=2coslim0 xxxxysin=cos)(sin xx=xcos=和差化积等价无穷小(2)其它三角函数的导数xxxx222tan1seccos1)tan(+=)cot
5、1(cscsin1)(cot 222xxxx+=xxsin)cos(=这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.（仿照正弦函数的推导方法）二.导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x)均可导,则),()()()()1(xvxuxvxu=)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu+=)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu=)0)(xv=nininiixuxuxuxuxu1211)()()()()(=nininiixuxxuxuxuxux1211)(d)(d)()()(dd)()()()(211xuxuxuxunnii=niiniixuxu11,)()(.d)
6、(d)(dd11=niiniixxuxux推广至有限个可导函数的情形:在证明这些公式时,用到下列表达式：)()(xuxxuu+=uxuxxu+=+)()(1.证明)()()()(xvxuxvxu=xxvxuxxvxxuxvxux+=)()()()(lim)()(0 xx=lim0 xxuxxux+=)()(lim0)()(xvxu=xxvxxvx+)()(lim0)()(xuxxu+)()(xvxxv+解0)sin(cos2+=xxxxxxsincos2+=。求 ,1cossin2yxxxy+=)(2=xy)(sin+x)(cosx)1(+例5，设nnnnnaxaxaxaxay+=121110
7、 )()()()()(122110+=nnnnnaxaxaxaxay10=nxna。求 y解由和的求导公式21)1(+nxna+xan221+na通常说,多项式的导数仍是多项式,其次数降低一次,系数相应改变.例62.证明证证)()()()()()(xvxuxvxuxvxu+=xxvxuxxvxxuxvxux+=)()()()(lim)()(0 xxvxuvxvuxux+=)()()()()(lim0 xvuuxvvxux+=)()(lim0 xvxux=)(lim0)()()()(xvxuxvxu+=因为可导必连续,所以。时，0 0vxxuxvx+)(lim0vxux+0lim设 u C (C
8、为常数),v=v(x)可导,则通常说成:常数因子可以提到导数符号外面)()()()(+=xvCxvCxvC)(=xvC例7设bxay+=)(+=bxay则直线上任意一点处的切线就是它本身.)()(+=bxaaxa=)(线性函数的导数为一个常数.例8)(log=xya。求 ,logyxya=解=axlnln)(lnln1=xaaxln1=ln1)(log axxa=例9已知)3()2)(1()3)(2()1(+=xxxxxxy)2)(1()3)(1()3)(2(+=xxxxxx2)23)(13()33)(13()33)(23(|3=+=xy故。求 ,)3)(2)(1(3=xyxxxy解解)3)(
9、2)(1(+xxx例103.证明故)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu=)0)(xv,)()()(xvxux=令)()()()()(xvxxvxxu+=)()()()()(xvxvxxux=)0)(xv,)(可导则x),()()(xvxxu=且)()()()()(2xvxvxuxvxu=用乘法公式证明除法公式)(cot=xyxxx222sincossin=解解=xxsincos =x2sin1=x2csc=)cot1(2x+=。求 yxy=,cotxx sin)(cos)(sincosxxx2sinxx2sin1)(cot=x2csc=)cot1(2x+=例11设函数 v
10、(x)可导,且 v(x)0,证明令 u(x)=1,)()()(1 2xvxvxv=证证由商的导数公式,得)()(1)()1()(12xvxvxvxv=)()(2xvxv=例12)(=xeyxxee2=解解.,yeyx=求=xe12)()(1)1(xxxeee=xxee=1例13)(sec=xyxx2cossin=.,secyxy=求解解=xcos1xx2cos)(cos=xxsectan=sectan)(sec xxx=例14点(x,y)处的切线相同.yTA(x,y)xxOy若 y=(x)的反函数 x=f(y)存在,则 x=f(y)与 y=(x)的图形相同,故 x=f(y)与 y=(x)在 是
11、 y=(x)的图形与x 轴正向的夹角.是 x=f(y)的图形与x 轴正向的夹角.)(tan yf=2 =三.反函数的导数=)2tan(tan)(yf)0)(x反函数的导数是其直接函数导数的倒数.)(1tan1cotx=)(1)(yxf=定理设单调函数x=(y)在区间I 内可导,(x)0,某区间J 内单调、可导,且该定理说明：一个函数单调、连续、可导,则它的反函数存在,且单调、连续、可导.则它的反函数y=f(x)在相应的(该定理的证明较简单,由学生自己阅读.)这里仍指严格单调它是 x=sin y的反函数 22)(y且导数不为0,上单调、连续、可导,又yxxyxydd1dd)(arcsin=故。求
12、 yxxy=,)11(arcsin解解sin 在yx=2 ,2)(yycos1)(sin1=你觉得做完了吗？例15而于是221sin1cosxyy=211cos1)(arcsinxyxy=)11(x 1)1(11)(arcsin 2=xxx。求 ),11(,arccosyxxy=它是 x=cos y,),0(的反函数y ,),0(cos 且内单调、连续、可导在又y x=0sin)(cosdd=yyyx解解例16故)(cos1dd1dd)(arccos=yyxxyxy )11(11)(arccos 2=xxx2211cos11sin1xyy=)11(x ,2,2 ,tan)(的反函数它是=yy
13、x又0tan1)(tan2+=yy故)(tan1)(arctan=yxy),(+x解解。求yxxy+=),(,arctan,tan 满足定理的条件且yx=y2tan11+=211x+=例17 ),(11)(arctan 2+=xxx类似可得 ),(11)arccot(2+=xxx四.复合函数的导数且)()()(xxfxf=xuuyxydddddd=或定理设 u=(x)在点 x 处可导,y=f(u)在对应点 u (u=(x)处也可导,复合函数 y=f(x)在 U(x)内有定义,则 y=f(x)在点 x 处可导,Qy=f(u)在相应点 u 处可导,uuufuuufy+=+=)()o()(当 u 0
14、,0)以 x 除上式,得xuxuufxy+=)(证证给 x 以增量 x,相应地 u=(x)有增量 u,对于u,y=f(u)有增量 y.对上式两边取x 0 的极限,由 u=(x)在点 x 处可导,得)()(limlimlim)(lim0000 xufxuxuufxyxxxx=+=即)()()()()(xxfxufxf=或xuuyxydddddd=例如,，)()(:)(xhvvuuyxhfy=则在各函数可导且f(h(x)在 U(x)有定义时,)()()()(xhvufxhfy=或xvvuuyxydddddddd=)()()(xhxhxhf=该定理可推广到任意有限次复合的情形.有)()(sin)(s
15、in=axuaxyuau=cos解解.,sinyaxy=求Qaxuuy=,sinaxacos=)(sin =axy一般按“由外向里层层求导”法求导 cosax=)(ax cosaxa=例18)(5=xey解解.,5yeyx=求)5(5=xexxe55=例19)0(,1)|ln(=xxx证明：证证=0 ,)ln(0 ,ln|lnxxxxxyxxxx1)(ln)|ln(,0 =时当xxxxxx1)(1)(ln()|ln(,0 =时当综上所述,.)0(,1)|ln(=xxx例20.,)ln(22yaxxy+=求)(ln(22+=axxy)1(12222axxaxx+=)(12222axxaxx+=2
16、21ax=解解 1)ln(2222axaxx=+例21.,22sinyyx=求()=2sin2xy)(sin2ln22sin2=xx)(cos2ln222sin2=xxxxxx2cos2ln22sin2=解解 )0(ln)(=aaaaxx例22 ,1arctanyxy求=1arctan)(=xy.112x+=)1(1222xxx+=)()(1 1112+=xx解解例23.,2cotyxy=求)(2)2csc(2cot21)2(cot2cot212=xxxxxy21)2csc(2cot212=xx2tan2csc412xx=解解例24.,1|,1ln 2yxxy=求设按复合函数求导法则)1ln(2=xy)1|(12=xxx12212=xx)()1(ln21 2=x解解注意利用函数的性质例25.,)1 ,1(,11lncos 2yxxxy+=求设+=xxxxy11lncos11lncos2+=xxxxxx11ln11lnsin11lncos2)1ln()1(ln(11ln2sinxxxx+=解解例26+=xxxx111111ln2sin+=xxx11ln2sin122并不难设 y=f(x)
