1、华东师范大学高等数学?第四章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广推广微分中值定理与导数的应用1一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第1讲二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理中值定理第四四章20()()f xf x定义定义1.1.0 x设函数()f x在点的某邻域0()U x内有定义,若对任意0()xU x有(0()()f xf x),则称0()f x为函数()f x的一个极大值并称0 x为()f x的一个极大值点(极小值)，(极小
2、值点).一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理注意极值与最值的区别费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理且存在)(或证证:设则00 xyo0 x证毕4导数为零的点也称为驻点驻点.值点如果可导则一定是驻点.驻点只是可导函数极值点的必要条件，是极值点.例如,函数32,3yxyx,在0 x 处,0.y 但显然0 x 不是3yx的极值点.费马定理的几何解释：费马定理的几何解释：()yf x在极值点有切线，费马定理告诉我们，极即驻点不一定若曲线则必为一条水平切线.xyO0 x注：函数极值点可能不是驻点，驻点也可能不是极值点.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理满足:(1)在
3、区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(fxyoab)(xfy 证证:故在 a,b 上取得最大值M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点6若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使.0)(f注意注意:1)定理的三个条件缺一不可.例如,x1yo则由费马引理得x1yo1x1yo7使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.8例例1.证明方程,15)(5xxxf,0
4、)(0 xf有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则)(xf在 0,1 连续,且由介值定理知存在,)1,0(0 x使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设9二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 )(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证
5、)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕1拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证证:在 I 上任取两点日中值公式,得0由的任意性知,在 I 上为常数.)10()(0 xxxfy令则2例例2.证明等式证证:设由推论可知(常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证自证:),(x,2cotarcarctanxx经验经验:欲证Ix 时,)(0Cxf只需证在 I 上,0)(xf,0Ix 且.)(00Cxf使3例例3.证明不等式证证:设,)
6、1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有4三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理()()()()0()()f bf agfg bg a)(分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使()()().()()()f bf afg bg ag满足:()()g bg a()()gbaba0要证()()()()()()()f bf axg xf xg bg a1证证:作辅助函数()()()()()()()f bf axg xf xg bg a()()()()()()()()f b g af
7、 a g babg bg a,),(,)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点()()().()()()f bf afg bg ag思考思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,)()()(baabfafbf()()()(),(,)g bg agbaa b两个不一定相同错错!上面两式相比即得结论.2柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:()g()g a()()xg tyf t)(af()g b)(bfd()d()yftxg t注意:xyo弦的斜率切线斜率3例例4.设2(),g xx至少存在一点使证证:结论可变形为设则(),()f xg x在 0,1 上满足柯西中值定理条件,
8、因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明4()(1)(),(1,)()(1)()f effeg egg例例5.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.()sin ln,()lnf xxg xx则 f(x),g(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析分析:5例例5.试证至少存在一点使法法2 令xxflnsin)(则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使xlncos)(xf1sinx1因此存在x1xln1sin 6内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf()g xx)()(afbf()g x
9、x2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理71三、其他不定式三、其他不定式二、二、型不定式型不定式一、一、型不定式型不定式00第2讲洛必达法则第四四章2微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本讲讨论本讲讨论:洛必达法则洛必达法则3一、一、()3)lim()xafxg x存在(或为)()()limlim()()xaxaf xfxg xg x2)()()(),f xg xa与在内可导定理定理 1.型不定式型不定式00(洛必达法则)00型4(在 x,a 之间)证证:不妨设()()0,f
10、 ag a在指出的邻域内任取则在上满足柯西定理故()()()()()()f xf xf ag xg xg a()()fg()lim()afg)3定理条件定理条件:的条件,()3)lim()xafxg x存在(或为)2)()()(),f xg xa与在内可导5推论推论1.定理 1 中ax 换为,ax之一,推论推论 2.若()lim()fxg x理1条件,则条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,x洛必达法则6例例1.求解解:原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意:不是不定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232 xx7例例2.求解解:原式 l
11、imx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考:如何求nnn12arctanlim(n 为正整数)?型1二、二、型不定式型不定式()3)lim()xafxg x存在(或为)()lim()xaf xg x定理定理 2.证略()lim()xafxg x(洛必达法则)2)()()(),f xg xa与在内可导2说明说明:定理中ax 换为之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x3例例3.求解解:型原式11limxxx1limxx0例例4.求求原式0 xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!limlim(0,0).xxxe型解解:
12、(1)为正整数的情形.n4例例4.求lim(0,0).xxxe(2)不为正整数的情形.x从而xxexkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexexlim0 xxxe用夹逼准则kx1kx存在正整数 k,使当 x 1 时,5lnlim0(0).xxx例3.例4.lim0(0,0).xxxe说明说明:1)例3,例4 表明x时,ln x后者比前者趋于更快.例如,而)0(xe用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.63)()()lim()lim()()()fxf xg xg x 不存在不存在例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx1
