1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十八讲 函数的微分脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决
2、有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四节 函数的微分第四章 一元函数的导数与微分一.函数的微分三.二阶微分二.微分的运算法则四.微分在近似计算中的应用五.微分在误差估计中的应用)(o)(0 xxxfy+=若 y=f(x)在点 x0 处有(有限)导数,则xxfy)(0现在反过来想一想：若在 x0 点处 y=f(x)的增量y 可以表示为一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 )0()o(+=xxxAy回忆复合函数求导法则中的一个定理那么,我们自然要问A=?xxAxy+=)(o xy Ax=0lim )(0 xf=就是说,在点 x0处若可用
3、关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数的增量y 时,其关系式一定是y=f(x0)x+o(x)我们称f(x0)x(或 Ax)为函数在点x0处增量的线性主部,通常将它记为dy=f(x0)x(dy=Ax).微分一.函数的微分将以上的讨论归纳一下,可得出什么结论?1.微分的概念y=Ax+o(x)此时,称 f(x)在点 x0 处可微。设 y=f(x)在 U(x0)有定义,给 x0 以增量x,且 x0+x U(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称 y 的线性主部为f(x)在点 x0 处的微分,记为 d y=Ax,其中,A 叫微分系数。2.可微与可导的关系定理 ).(,)()(000 xfAxxfxxf
4、=且处可导在点处可微在点y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x 也就是说,f(x)在点 x0 处的可微性与可导性是等价的,且 f(x)在点 x0 处可微,则解解.d ,yxy求=什么意思？例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:xxd=xxfyd)(d=xxfxfd)()(d =或此外,当 x 为自变量时,还可记.)(d ,d22等+=Znxxxxnn ,1)(dxxxxy=,故得由于xy=.ddxxy=.dd)(,d)(d xyxfxxfy=有时当即函数 f(x)在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分d x 的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法
5、,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3.微分的几何意义Oxyxxdxxx+)(xfy=ddtan xy=几何上,函数y=f(x)在点 x 处的微分表示为:相应于自变量x 的改变量x,曲线y=f(x)在点 P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.二.微分的运算法则1.微分的基本公式可微可导微分的基本公式与导数的基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了.2.一阶微分形式不变性(复合函数微分法则)()(可构成复合函数与设xuufy=).(xfy=而处可微在点若 ,)(0 xxu=,)()(00且处可微在相应点xuufy=)(,)U()(0 xfyxxf=则内有定义在在点 x0 处可微
6、.按微分的定义但故xxfxxyyd)(dddd=xxxfd)()(=xxud)(d=d)(d)()(duufxxufy=)(为中间变量u说明什么问题？我们发现y=f(u),当 u 为中间变量时的微分形式与u 为自变量时的微分的形式相同,均为 dy=f(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.解解xxxxyd3d)(d23=1.0221.02d3d=xxxxxxy)d(2.11.0232xx=故xxxyxxd12d3d222=.2,1.0 ,2 3处的微分在时以及当处的微分在求=xxxxy例2由一阶微分形式不变性,再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：)(1dd1
7、dd)(xfxyyxy=反函数的导数)()(d)(d)(dd txtyttxttyxy=参数方程的导数 ,dddddd xuuyxy=复合函数的导数例3.dd ,4 2xyyyx求设=解解yyxd)42(d =)2(421dd =yyxy)42dd (=yyx或例4三.二阶微分其二阶微分为设函数 y=f(x)二阶可导,当 x 为自变量时,)d)(d()d(dd2xxfyy=2d)(d)(d(xxfxxf=由此看出,当 x 为自变量时,22dd)(xyxf=d 22xx=除法xx=d类似可定义 n 阶微分:nnnnnnxxfxxfyyd)()d)(d()d(dd)(1)1(1=nnnxyxfdd
8、)()(=且有注意这里x 是自变量以及一阶微分由高阶导数 dd)()(nnnxyxf=,分是否也我们自然会想到高阶微形式不变性具有这种不变性？看一下二阶微分的情形：性,且可构成复合函数y=f(t),则tttxftxfdd)()()()(2+=xxfxxf22d)(d)(+=设函数 y=f(x),x=(t)都具有相应的可微)d)()(d()d(dd2ttxfyy=d tt=,d)(d ,22ttx=其中2222d)()d)(dttttx=就是说,二阶微分不具备微分形式不变性.高阶微分不具备微分形式不变性.三.微分在近似计算中的应用)(o)(xxxfy+=由函数增量的近似值：,|,0)(0很小时当
9、xxfxxfxfxxfy+=)()()(000函数值的近似值：xxfxfxxf+)()()(000)()()()(000 xxxfxfxf+将半径为 R 的球加热.如果球的半径,R估计球的体积的增量.伸长解解3334)(34RRRV+=RR)34(3RR=24,343RV=则由所以,球的体积增量大约为.42RR 例5.3030sin 的近似值利用微分求,sin)(xxf=设.36063030 +=又,360 ,6 0=xx取xxfxfxxf+)()()(000由 ,236cos)(0=xf而3606cos6sin)3606sin(+5076.0得3602321+=解解例6四.微分在误差估计中的
10、应用设某个量的精确值为A,它的近似值为a,|aaA为 a 的相对误差.A为测量 A 的绝对误差限,简称 A 的绝对误差.|a|A 为测量 A 的相对误差限,简称 A 的相对误差.则称:|Aa|为 a 的绝对误差;,|AaA若已知则称:设测得圆钢截面的直径 D=60.03 mm,测量 D 的绝对误差限D0.05mm,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解解设测量值为D,精确值为,DD+则224)(4DDDA+=DAAdd=DD=2 4 2DA=由于D 的绝对误差限D0.05mm,所以05.0|=DD例7而因此,A 的绝对误差限约为)(715.42mmA 的相对误差限约为242DDADA=%17.0DD2=03.6005.02=05.003.602=DDDDAA2|2|d|=DAD2=,)(xfy=设已知测量 x 的绝对误差限为x ,|xx即,0 时则当 yy 的绝对误差:xyxyyy|d|=y 的绝对误差限约为xyy|=y 的相对误差限约为xyyyy|=即有若根据直接测量的x 值计算 y 值,
