1、10.2 组合一、明确复习目标1.理解组合的意义，能正确区分排列与组合;2.掌握组合数计算公式和组合数的性质,能解决一些简单的应用问题二建构知识网络1.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合2组合数公式：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数 或3. 组合数的性质：(1)规定：； (2) + .3 由二项式定理知4.带限制条件的组合问题一般是“取不取某元素,比拟好处理.5.排列与组合的联系:组合可看成排列的一个步骤.对于较复杂的排列问题,常用“先取元素,再排位置的方法解决.三、双基题目练练手1.从正
2、方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )A.8种B.12种C.16种D.20种2.在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 ( )3.(2023湖南) 某外商方案在4个候选城市投资3个不同的工程, 且在同一个城市投资的工程不超过2个, 那么该外商不同的投资方案有 ( )A 16种 B36种 C42种 D60种4.某餐厅供给客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，假设要保证每位顾客有200种以上的不同选择，那么餐厅至少还需要不
3、同的素菜品种_种.结果用数值表示5.(2023江苏)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法用数字作答。6.(2023全国设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，那么这样的投放方法有多少种 A B BA7.马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，那么满足条件的关灯方法有_种.8. 从一个34的方格中的一个顶点A到
4、对顶顶点B的最短路线有_条;AABBBC 如果某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如图，要从A处走到B处，使所走的路程最短,那么不同的走法有_种练习简答:1-3. BCD; 4.设素菜n种，那么CC200nn140，n的最小值为7; 5.1260; 6. CC=20种; 7.让三只不亮的灯插空,C=20; 8.最短路径须走七步，只需确定哪三步向上，走法类似得=种走法。四、经典例题做一做【例1】求值:(1); (2)解(1)由组合定义知:.(2) 特别提示：排列组合中对n，m的限制。【例2】用正五棱柱的10个顶点中的5个做四棱锥的5个顶点，共可得到多少个四棱锥？解：
5、解法1 直接法：共面而不共线的四点可成为四棱锥的底面，再在平面外找一点为顶点就形成了四棱锥，于是可从四棱锥的底面四点着眼，将构成棱锥的5个顶点的取法分类。按照构成四棱锥的底面四点分为以下四类；(1)四点取在棱柱的底面上有2CC=50个；(2)四点取在棱柱的侧面上有5C=30个；(3)四点取在棱柱的对角面上有5C=30个；(4)四点取在以过一个底面中的一条对角线和另一个底面中与其平行的一边所确定的面上有25C=60个。所以共可组成50+30+30+60=170个四棱锥。 解法2 间接法. C中去掉五点共面和无四点共面的两种情况，算式为C-2C-44C=170个。【例3】球台上有4个黄球，6个红球
6、，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？解：设击入黄球x个，红球y个符合要求，那么有 x+y=4，2x+y5x、yN，得1x4.相应每组解x，y，击球方法数分别为CC，CC，CC，CC.共有不同击球方法数为CC+CC+CC+CC=195.【例4】有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张分析：既精通英语，又精通日语的“多面手是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
7、解：按“多面手的参与情况分成三类.第一类：多面手不参加，这时有CC种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有CCC+CCC种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有CCC+CCC+CCCC种.综上分析，共可开出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=185种.法2.先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有CC+CCC+CCC=185种.【研讨.欣赏】从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法解：1假设取出的2个数都大于50，那么有C种
8、.2假设取出的2个数有一个小于或等于50，当取1时，另1个只能取100，有C种取法；当取2时，另1个只能取100或99，有C种取法；当取50时，另1个数只能取100，99，98，51中的一个，有C种取法，所以共有1+2+3+50=.故取法种数为C+=+=2500.五提炼总结以为师1.组合的概念，组合数的公式和性质：2.带限制条件的组合问题.3.排列与组合的联系同步练习 10.2 组合 【选择题】1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 ( )A.240种B.180种C.120种D.60种2.2023江苏从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生
9、又有女生，那么不同的选法共有 ( )A.140种B.120种C.35种D.34种3.(2023天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有 A10种B20种C36种D52种4.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全局部给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 A168B96C72D144【填空题】5.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，那么不同的选法有_种.6.将一个四棱锥的每个顶点
10、染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.假设只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数为_.解析：设四棱锥为PABCD.1P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.2P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.共有CCC1C+CCCCC=420.答案：4207.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，假设取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，那么总分不低于5分的取法有_种8.从一楼到两楼楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是练习简答:1-4.ADAD; 1.先选一双有C种，再从其余选2只，有CC种，共CCC=2
11、40种. 法2: ; 2. CC=34; 5.按含不含会双语的人分类， =20; 7. CC=195种. 法二：只能是4红,3红1白,2红2白,1红3白,有C+CC+CC+CC=195种. 8.有2步走2级，那么. 【解答题】9.求值1; 2，求解：1，当n=4时，原式。当n=5时，原式。2此题运用公式，将等式转化为关于m的一元二次方程，解方程并结合m的取值范围确定m的值，最后计算解：m的取值范围为由，即，解得m=21或m=2但，舍去10. 是集合到集合的映射1不同的映射有多少个？2假设要求那么不同的映射有多少个？解：1A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射 2
12、根据对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有个由分类计数原理共有1+12+6=19个点评：问题1可套用投信模型：n封不同的信投入m个不同的信箱，有种方法；问题2的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏11.从1，2，30这前30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A1，4，7，10，28，B2，5，8，11，29，C3，6，9，30组成四位
13、数的方式有以下四类符合题意：A，B，C中各取一个数，有种；仅在A中取3个数，有种；仅在B中取3个数，有种；仅在C中取3个数，有种，故由加法原理得：1360种12.集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，求同时满足下面两个条件的集合的个数：1，且中含有3个元素；2为空集 分析 该题是1986年的高考题，此题形式是集合,实质是计数问题,要用排列组合的方法求解.如以下图，中的三个元素的取法不止一类，可考虑分类解之 解 因为、各有12个元素，含有4个元素，所以中元素的个数是个. 其中，属于的元素有12个，属于而不属于的元素有8个，要使，那么组成中的元素至少有一个含在中，集合的个数是4个BA 1只含中
14、1个元素的有个 2含中2个元素的有个； 3含中3个元素的有个. 故所求的集合C的个数共有 +=1084个【探索题】某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据以下情况分别求出有多少种不同的出场阵容.1某老队员必须上场，某2新队员不能出场；2有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.解：1C=126种.2以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：甲、乙都不上场有CC=120种；甲、乙有一名上场，作前锋位有CCC种，作后卫位有CCC种，共CCC+CCC=340种；甲、乙都上场，有CC+CC+CCC=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.
