1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知复数,则( )ABCD2已知集合,集合,则( )ABCD3若向量,则与共线的向量可以是()ABCD4已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,则a,b,c的大小关系为( )ABCD5已知倾斜角为的直线与直线垂直,则( )ABCD6若
2、的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为( )A7B6C5D47在复平面内,复数对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为( )ABCD9在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是( )ABCD10祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的( )A充分
3、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是( )A4BCD12函数y=sin2x的图象可能是ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,则实数的值为_14如图,直三棱柱中,P是的中点,则三棱锥的体积为_.15已知为正实数,且,则的最小值为_.16如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条 直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括 两点),则的最大值是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函
4、数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:. (参考数据: )18(12分)已知函数()求在点处的切线方程;()求证:在上存在唯一的极大值;()直接写出函数在上的零点个数19(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、试判断是否为定值,并说明理由20(12分)已知椭圆:(),四点,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.21(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,为等边三角形,平面底面
5、,为的中点. (1)求证:平面平面;(2)点在线段上,且,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22(10分)在中,角所对的边分别为,的面积.(1)求角C;(2)求周长的取值范围.2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【题目详解】,故.故选:B【答案点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.2、C【答案解析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【题目详解】解:,故选:C.【答案点睛】本题主要
6、考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.3、B【答案解析】先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【题目详解】故选B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4、B【答案解析】根据f(x)为偶函数便可求出m0,从而f(x)1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【题目详解】解:f(x)为偶函数;f(x)f(x);11;|xm|xm|;(xm)2(xm)2;mx0;m0;f(x)1;f(x)在0,+)上单调递增,并且af(|)f(),bf(),cf(2);0
7、2;acb故选B【答案点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0,+)上,根据单调性去比较函数值大小5、D【答案解析】倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【题目详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【答案点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.6、C【答案解析】由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算【题目详解】的二项展开式中二项式系数和为,故选:C【答案点睛】本题考查二项式系数
8、的性质,掌握二项式系数性质是解题关键7、B【答案解析】化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【题目详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【答案点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.8、A【答案解析】设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【题目详解】双曲线的右顶点为,右焦点为, M所在直线为,不妨设,MF的中点坐标为.代入方程可得,(负值舍去).故选:A.【答案点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力
9、,求解时注意构造的齐次方程.9、A【答案解析】由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【题目详解】解:复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,设(a,b),则,即,又,解得:,对应复数为.故选:A.【答案点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.10、A【答案解析】由题意分别判断命题的充分性与必要性,可得答案.【题目详解】解:由题意,若、的体积不相等,则、在等高处的截面积不恒相等,充分性成立;反之,、在等高处的截面积不恒相等,但、的体积可能相等,例如是一个正放的正四面体,一个倒放的正
10、四面体,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故选:A.【答案点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定,意在考查学生的逻辑推理能力.11、D【答案解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.12、D【答案解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令, 因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,
11、判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【答案解析】由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【题目详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【答案点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、【答案解析】证明平面,于是,利用三棱锥的体积公式即可求解.【题目详解】平面,平面,又.平面,是的中点,.故答案为:【答案点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式,属于基础题.15、【
12、答案解析】,所以有,再利用基本不等式求最值即可.【题目详解】由已知,所以,当且仅当,即时,等号成立.故答案为:【答案点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题,采用的是“1”的替换,也可以消元等,是一道中档题.16、【答案解析】以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,从而可得、,然后利用向量数量积的坐标运算可得,再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【题目详解】以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则、,由,且,所以,所以,即 又平分,所以,则,设,则,所以,所以,所以的最大值是.故答案为:【答案点睛】本题考查了向量数量积的坐标
13、运算、利用向量解决几何问题,同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(1)见证明【答案解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证exx1xlnx10,根据xlnxx(x1),问题转化为只需证明当x0时,ex1x1+x10恒成立,令k(x)ex1x1+x1,(x0),根据函数的单调性证明即可【题目详解】(1),当,当,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1exx1即证exx1xlnx10,先证明lnxx1,取h(x)lnxx+1,则h(x),易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+)递减,故h(x)h(1)0,即lnxx1,当且仅当x1时取“”,故xlnxx(x1),exx1xlnxex1x1+x1,故只需证明当x0时,ex1x1+x10恒成立,令k(x)ex1x1+x1,(x0),则k(x)ex4x+1,令F(x)k(x),则F(x)ex4,令F(x)0,解得:x1ln1,F(x)递增,故x(0,1ln1时,F(x)0,F(x)递减,即k(x)递减,x(1ln1,+)时,F(x)0,F(x