1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若单位向量，夹角为，
2、且，则实数（ ）A1B2C0或1D2或13已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）ABCD4已知平面，直线满足，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件5已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为ABC2D6在中，在边上满足，为的中点，则（ ）.ABCD7已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD8如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲
3、线的离心率是（ ）.ABCD9我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）A多1斤B少1斤C多斤D少斤10记递增数列的前项和为.若，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ）ABCD11已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ）A命题是真命题B命题的逆命题是真命题C命题的否命题是“若，则”D命题的逆否命题是“若，则”12已知与之间的一组数据：12343.24.
4、87.5若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）A1.5B2.5C3.5D4.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，满足不等式组，则的取值范围为_14已知内角，的对边分别为，则_15已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是_.16已知，则_，_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.18（12分）在数列中，已知，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
5、（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.20（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，.（1）求证：平面.（2）求二面角的大小.21（12分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围22（10分）已知函数（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解
6、析】将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【题目详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【答案点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.2、D【答案解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.【题目详解】由于，所以，即，即，解得或.故选：D【答案点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.3、B【答案解析】构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【题目详
7、解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【答案点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.4、A【答案解析】，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或/或平面，即可判断出结论【题目详解】解：已知直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或/或平面， “”是“”的充分不必要条件故选：A.【答案点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力5、
8、B【答案解析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【题目详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【答案点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.6、B【答案解析】由，可得，再将代入即可.【题目详解】因为，所以，故.故选：B.【答案点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.7、C【答案解析】求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的
9、实数根等价于方程在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【题目详解】依题意，令，解得，故当时，当，且，故方程在上有两个不同的实数根，故，解得.故选：C.【答案点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.8、C【答案解析】易得，又，平方
10、计算即可得到答案.【题目详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【答案点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.9、C【答案解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ，故选C10、D【答案解析】由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围【题目详解】解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，或者或者是该数列中的项，又数列是递增数列，只有是该数列中的项，同理可以得到，也是该数列中的项，且有，或（舍，根据，同理易得，故选：D【答案点睛】本题考查数列的新定
11、义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题11、B【答案解析】解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【题目详解】解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；命题的否命题是“若，则”，C选项错误；命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误故选：B【答案点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.12、D【答案解析】利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.【题目详解】利用表格中数据
12、，可得又，解得故选：D【答案点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为14、【答案解析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【题目详解】由正弦定理得，故答案为：.【答案点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.15、【答案解析】求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理
13、可以求出弦长的一半，进而求出弦长【题目详解】抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，所以弦长【答案点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式16、 【答案解析】利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值.【题目详解】，.故答案为：；.【答案点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过
14、程或演算步骤。17、（1）（2）当时，；当时，.【答案解析】（1）利用数列与的关系，求得；（2）由（1）可得：，算出公比，利用等比数列的前项和公式求出.【题目详解】（1）当时，当时，因为适合上式，所以.（2）由（1）得，设等比数列的公比为，则，解得，当时，当时，.【答案点睛】本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力.18、（1）；（2）见解析.【答案解析】（1）由已知变形得到，从而是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可；（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法求出即可.【题目详解】（1）由已知，即，又，则数列是以1为首项3 为公差的等差数列，所以，即.（2）因为，则，所以，又是递增数列，所以，综上，.
