1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）A5B3CD22已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的是（ ）ABCD3函数（， ， ）的部分图象如
2、图所示，则的值分别为（ ）A2，0B2， C2， D2， 4若集合，则（ ）ABCD5如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）ABCD6已知集合，定义集合，则等于（ ）ABCD7一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）ABCD8已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）ABCD9已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率ABCD10函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左
3、平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位11已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，则的大小关系为（）ABCD12如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为_.14已知三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积是_.15已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为_.16若，则_三、解答
4、题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.18（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求OAB的面积S的范围19（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和.20（12分）已知，（1）求的最小正周期
5、及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，的对边分别为，且，求边上的高的最大值21（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.（1）求椭圆C的标准方程：（2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线 交于M，N，线段MN的中点为E.求证：；记，的面积分别为、，求证：为定值.22（10分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的
6、四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【题目详解】解：由抛物线方程可知，即，.设 则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【答案点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.2、D【答案解析】根据面面垂直的判定定理可判断；根据空间面面平行的判定定理可判断；根据线面平行的判定定理可判断；根据面面垂直的判定定理可判断.【题目详解】对于，若，两平面相交，但不一定垂直，故错误；对于，若，则，故正确；对于，若，当
7、，则与不平行，故错误；对于，若，则，故正确；故选：D【答案点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.3、D【答案解析】由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【题目详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，则故选【答案点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果4、A【答案解析】用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可【题目详解】解：由集合，解得，则故选：【答案点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式
8、的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键属于基础题5、B【答案解析】根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.【题目详解】，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为，所以在上单调递增.又因为，所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【答案点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.6、C【答案解析】根据定义，求出，即可求出结论.【题目详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【答案点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.7、B【答案解析】根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面
9、的中心即为球心.【题目详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为，高为，所以 ， 到 的距离为，同理到 的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为.故选：B【答案点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.8、A【答案解析】结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断【题目详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，且，当时，为函数的一个极小值点，而故选：【答案点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用9、B【答案解析】设，则，因为，所以若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，设，则，在中，易得
10、，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率故选B10、A【答案解析】依题意有的周期为.而，故应左移.11、A【答案解析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【题目详解】为偶函数 图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减 时，单调递增又且 ，即本题正确选项：【答案点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.12、D【答案解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，
11、所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.【题目详解】原问题等价于，当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：；当时，函数图象如图此时，则，解得：
12、；当时，函数图象如图此时，则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.14、【答案解析】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.【题目详解】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，则，由勾股定理可得，上述三个等式全部相加得，因此，三棱锥的外接球面积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.15、2【答案解析】求出焦点
13、到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即， ，由得，故答案为：2.【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式16、【答案解析】因为，所以，又，所以，则，所以三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【答案解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵【题目详解】由特征值、特征向量定义可知，即，得同理可得解得，.因此矩阵【答案点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单18、（1）；（2）；.【答案解析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域【题目详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以 所以，椭圆的方程为 （2）设，而，则， ， 因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得， 所以 由原点到直线的距离为，得，化简得： 联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且 ，所以的面积
