1、第6讲双曲线基础题组练1(2023年高考北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A. B4 C2 D.解析：选D.由双曲线方程y21，得b21，所以c2a21.所以5e21.结合a0，解得a.故选D.2若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4 C6 D8解析：选B.由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.3设双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于()A10 B8 C8 D16解析：选C.依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF
2、2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形PF1F2的面积S88.4(2023年长春市质量监测(一)已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1k23，所以其渐近线方程为yx，故选C.5(2023年高考天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D解析
3、：选D.由题意知F(1，0)，l：x1，双曲线的渐近线方程为yx，则|AB|4|OF|4，而|AB|2，所以2，所以e，故选D.6(2023年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3，4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx.答案：yx7(2023年陕西渭南期末改编)已知方程1，若该方程表示双曲线，则k的取值范围是 ，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 解析：方程1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4k0，k20，解得k2；若焦点在y轴上，则4k0，
4、解得k4，则k的取值范围是(，2)(4，)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4kk20，即2k0，b0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点若FPO90，则双曲线C的方程为 ，其离心率为 解析：因为双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，点P(1，)在渐近线上，所以.在RtOPF中，|OP|2，FOP60，所以|OF|c4.又c2a2b2，所以b2，a2，所以双曲线C的方程为1，离心率e2.答案：129已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原
5、点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上解：(1)因为离心率e，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，所以双曲线的方程为x2y26.(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，所以32m26，所以m23，又双曲线x2y26的焦
6、点为F1(2，0)，F2(2，0)，所以(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，所以MF1MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上综合题组练1(2023年河南鹤壁高中4月模拟)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B2xy0C.x2y0 D2xy0解析：选C.因为F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|4a，所以|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理可得cos
7、60，即，所以3a210a24c2，即4c27a2，又知b2a2c2，所以，所以双曲线C的渐近线方程为yx，即x2y0，故选C.2(2023年高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若，0，则C的离心率为 解析：法一：因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，
8、所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.法二：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F2(c，0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.答案：23已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0
9、)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得，a2，c4，再由a2b2c2，得b24，所以双曲线C的方程为1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2与1联立，得(13k2)x212kx360.由题意知解得k1.所以当k1时，l与双曲线的左支有两个交点所以k的取值范围为6
