1、第2讲 函数的单调性与最值 基础题组练1下列四个函数中，在x(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C.当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0) BC0，) D解析：选B.y|x|(1x)函数y的草图如图所示由图易知原函数在上递增故选B.3若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4
2、C3，2 D4，3解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故2，3，即a6，44已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. BC. D解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.5定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C.由题意知当2x1时，f(x)x2，当10，x0)(
3、1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f2，f(2)2，解得a.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上是增加的；(2)若a0且f(x)在(1，)上是减少的，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f
4、(x2)，所以f(x)在(，2)上是增加的(2)设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，0a1.综合题组练1若f(x)x24mx与g(x)在区间2，4上都是减函数，则m的取值范围是()A(，0)(0，1 B(1，0)(0，1C(0，) D(0，1解析：选D.函数f(x)x24mx的图象开口向下，且以直线x2m为对称轴，若在区间2，4上是减函数，则2m2，解得m1；g(x)的图象由y的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间2，4上是减函数，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0，1
5、2已知函数f(x)log2x，若x1(1，2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B.因为函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1，2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.故选B.3设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_解析：因为当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a0.当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2，所以a的取值范围是0a2.答案：0，2
6、4如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为_解析：因为函数f(x)x2x的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，x1，令g(x)x1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数x1在区间1， 上递减，故“缓增区间”I为1， 答案：1， 5已知函数f(x)x2a|x2|4.(1)当a2时，求f(x)在0，3上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间1，)上是增加的，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)x22|x2|4，当x0，2)时，1f(x)0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解：(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x16
