1、能力升级练(十二)概率一、选择题1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对解析由于每人一个方向,事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生,但能同时不发生,故是互斥事件,但不是对立事件.答案A2.设事件A,B,已知P(A)=15,P(B)=13,P(AB)=815,则A,B之间的关系一定为()A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件解析因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(AB),所以A,B之间的关系一定为互斥事
2、件.答案B3.(2023河北石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08解析记“抽检的产品是甲级品”为事件A,是“乙级品”为事件B,是“丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.答案C4.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是17,都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17B.1235C.1735D.1解
3、析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=AB,且事件A与B互斥.由于P(A)=17,P(B)=1235.所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735.答案C5.某同学同时掷两颗均匀的正方体骰子,得到的点数分别为a,b,则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e32的概率是()A.118B.536C.16D.13解析同时掷两颗均匀的正方体骰子,得到的点数分别为a,b,共有66=36(种)情况.ab时,若离心率e=1-b2a232,则a2b,有a=3,b=1,a=4,b=1,a=5,b=1,a=6,b=1,a=5
4、,b=2,a=6,b=2,共6种情况满足条件.同理a32的概率为6+636=13,故选D.答案D6.魔法箱中装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=2x,f2(x)=2x,f3(x)=x2,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=1-2x1+2x.现从魔法箱中任取2张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个新函数,所得新函数为奇函数的概率是()A.25B.35C.12D.13解析由题意知,在已知的6个函数中,奇函数有f1(x),f4(x),f6(x),共3个;偶函数有f3(x),f5(x),共2个;非奇非偶函数为f2(x).则从6张卡片中任取2张,根据函数奇
5、偶性的性质知,函数乘积为奇函数的有f1(x)f3(x),f1(x)f5(x),f4(x)f3(x),f4(x)f5(x),f6(x)f3(x),f6(x)f5(x),共6个,而已知的6个函数任意2个函数相乘,可得15个新函数,所以所求事件的概率P=615=25.故选A.答案A7.某英语初学者在拼写单词“steak”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得用“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置,如果他根据已有信息填入上述三个字母,那么他拼写正确的概率为()A.16B.14C.12D.13解析由题知可能的结果有:eak,aek,eka,ake,共4种,其中正确的只有一种
6、eak,所以拼写正确的概率是14,故选B.答案B8.在三棱锥S-ABC内任取一点P,使得三棱锥P-ABC的体积满足V三棱锥P-ABC12V三棱锥S-ABC的概率是()A.78B.34C.12D.14解析三棱锥S-ABC与三棱锥P-ABC的底面相同,设三棱锥S-ABC的底面面积为S,则三棱锥P-ABC的高h与三棱锥S-ABC的高h满足13Sh1213Sh,所以hh2.点P位于棱台ABC-ABC内(如图),其中A,B,C分别为SA,SB,SC的中点,易知棱台的上底面的面积S=14S,所以棱台的体积为V三棱锥S-ABC-18V三棱锥S-ABC=78V三棱锥S-ABC,故所求概率为78V三棱锥S-AB
7、CV三棱锥S-ABC=78.答案A9.小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:006:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:306:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为()A.19B.89C.512D.712解析设快递员到小李家的时间为x,小李到家的时间为y,由题意可得所有基本事件构成的平面区域为(x,y)5x6,5.5y6,设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A,则事件A包含的基本事件构成的平面区域为(x,y)5x6,5.5y6,y-x
8、16,如图阴影部分所示的直角梯形.在y-x=16中,当y=5.5时,x=163;当y=6时,x=356.阴影部分的面积为S阴影=1213+5612=724,由几何概型概率公式可得P(A)=S阴影S矩形=72412=712,小李需要去快递柜收取商品的概率为712.故选D.答案D二、填空题10.(2023河南郑州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组
9、随机数:321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为.解析由题意知,在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531,共6组随机数,所以所求概率为620=0.3.答案0.311.(2023北京东城区调研)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表:排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是.解析由表格
10、知,至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.答案0.7412.记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.解析由6+x-x20,解得-2x3,D=-2,3.如图,区间-4,5的长度为9,定义域D的长度为5,P=59.答案5913.若m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,则椭圆x2m+y22=1的焦距为整数的概率为.解析m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素,基本事件总数为6,又满足椭圆x2m+y22=1的焦距为整数的m的取值有1,3,11,共有3个,椭圆x2m+y22=1的焦距为整数的概率P
11、=36=12.答案12三、解答题14.甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下,甲:9,9,11,11,乙:X,8,9,10,其中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.解(1)当X=8时,乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10,故x=8+8+9+104=354,s2=148-35422+9-3542+10-3542=1116.(2)当X=9时,记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1
12、,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,其包含的基本事件为A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,B4,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,B4,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A3,B4,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A4,B4,共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C,则事件C中包含的基本事件为A1,B4,A2,B4,A3,B2,A4,B2,共4个.故P(C)=416=14.15.2023年8月在重庆成功举办了首届“智博会”.某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108,72,72,现采用分层
13、抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观.(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数;(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报,求这2人来自不同部门的概率.解(1)抽取比例为7(108+72+72)=136.所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人,2人,2人.(2)7人分别记为A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2,从中随机抽取2人的所有可能情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1B2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1C2,共21种.其中,2人来自不同部门的可能情况有:A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,共16种.故所求事件的概率为1621.9
