1、第5讲 几何概型基础题组练1(2023年江西九江模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.BC. D解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A).故选D.2(2023年河南洛阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()A1 B1C1 D1解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则
2、P的位置位于阴影部分，如图所示在三角形内部的三个扇形的面积之和为312，ABC的面积S22sin 60，则阴影部分的面积S，则对应的概率P1.故选B.3如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1 BC. D1解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，故选A.4.(2023年河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD为菱形，C为EF的中点，ECC
3、F3，BEDF4，BEEF，DFEF.若在几何图形中任取一点，则该点取自RtBCE的概率为()A. BC. D解析：选D.因为EC3，BE4，BEEC，所以BC5.又由题可知BDEF6，AC2BE8，所以SBCESDFC346，S四边形ABCDACBD24.由几何概型概率公式可得，所求概率P，即该点取自RtBCE的概率为.故选D.5.(2023年湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的黄金分割点图中在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在AB
4、C内任取一点M，则点M落在APQ内的概率为()A. B2C. D解析：选B.所求概率为2.故选B.6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y，y，yx，yx及圆构成的在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.答案：7已知平面区域(x，y)|0x，0y1，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线ysin2x下方的概率是_解析：ysin2xcos 2x，所以dx，区域(x，y)|0x，0y1的面积为，所以向区域内任意掷点，该点落在曲线ysin2x下方的概率是. 答案：8已知O(0，0)
5、，A(2，1)，B(1，2)，C，动点P(x，y)满足02且02，则点P到点C的距离大于的概率为_解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，C，动点P(x，y)满足02且02，所以如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|对应的平面区域为阴影部分由解得即E，所以|OE|，所以正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为1.答案：19.如图所示，圆O的方程为x2y24.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率解：(1)圆O的周
6、长为4，所以的长度小于的概率为.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则(M)(x，y)|x2y22，(x，y)|x2y24，所以P(M).10已知向量a(2，1)，b(x，y)(1)若x1，0，1，2，y1，0，1，求向量ab的概率；(2)若x1，2，y1，1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.所有基本事件为(1，1)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件其中A(0，0)，(2，1)，包含2个基本事件则P(A)，即向量ab的概率为.(2)设
7、“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xyy，作出可行域如图中阴影部分所示所以由几何概型得P(A)，即甲比乙跳得远的概率为.6已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1，2，3和Q1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解：(1)因为函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1，1；若a3，则b1，1.所以事件包含基本事件的个数是1225，因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是15.所以所求事件的概率为.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分由得交点坐标C，故所求事件的概率P.9
