1、第6讲 正弦定理和余弦定理 基础题组练1(2023年湖北武汉调研测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab，AB，则角C()A.BC. D解析：选B.因为在ABC中，AB，所以AB，所以sin Asincos B，因为ab，所以由正弦定理得sin Asin B，所以cos Bsin B，所以tan B，因为B(0，)，所以B，所以C，故选B.2(2023年江西上饶一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2S(ab)2c2，则tan C的值是()A. BC D解析：选C.因为Sabsin C，c2a2b22abcos C，所以由2S(ab)2
2、c2，可得absin C(ab)2(a2b22abcos C)，整理得sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，所以4，4，化简得3tan2C4tan C0，因为C(0，)，所以tan C，故选C.3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B.因为bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，所以sin(BC)sin2A.又sin(BC)sin A且sin A0，所以sin A1，所以A，所
3、以ABC为直角三角形，故选B.4在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC()A. BC. D2解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B60，所以由余弦定理得b2a2c22accos B，得c2，所以由正弦定理得SABCacsin B，故选C.5在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且A60，若SABC且2sin B3sin C，则ABC的周长等于()A5 B12C10 D52解析：选A.在ABC中，A60.因为2sin B3sin C，故由正弦定理可得2b3c，再由SABCbcsin A，可得bc6，所以b3，
4、c2.由余弦定理可得a2b2c22bccos A7，所以a，故ABC的周长为abc5，故选A.6(2023年河北衡水模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a1，sin Acos C(sin Cb)cos A0，则A_解析：由sin Acos C(sin Cb)cos A0，得sin Acos Csin Ccos Abcos A，所以sin (AC)bcos A，即sin Bbcos A，又，所以，从而tan A，又因为0Ac，则_解析：由acos Bc0及正弦定理可得sin AcosBsin C0.因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以co
5、s Asin B0，所以cos A，即A.由余弦定理得a2bcb2c2bc，即2b25bc2c20，又bc，所以2.答案：29(2023年河南郑州一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足sin B.(1)求sin Asin C；(2)若4cos Acos C3，b，求ABC的周长解：(1)因为ABC的面积为Sacsin B，sin B，所以4sin Bb2，所以ac，所以由正弦定理可得sin Asin C.(2)因为4cos Acos C3，sin Asin C，所以cos Bcos(AC)sin Asin Ccos Acos C，因为b，所以ac8，所
6、以由余弦定理可得15a2c2ac(ac)2ac12，解得ac3，所以ABC的周长为abc3.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2c2b2abcos Aa2cosB(1)求角B；(2)若b2，tan C，求ABC的面积解：(1)因为a2c2b2abcos Aa2cos B，所以由余弦定理，得2accos Babcos Aa2cos B，又a0，所以2ccos Bbcos AacosB由正弦定理，得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，又C(0，)，sin C0，所以cos B.因为B，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得
7、sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由正弦定理，得a6，所以ABC的面积为absin C626.综合题组练1(2023年安徽六安模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC的面积的最大值为()A4 B2C2 D解析：选A.因为在ABC中，所以(2ac)cos Bbcos C，所以(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A，所以cos B，即B，由余弦定理可得16a2c22accos Ba2c2ac2aca
8、c，所以ac16，当且仅当ac时取等号，所以ABC的面积Sacsin Bac4.故选A.2(2023年江西抚州二模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos Abcos Cccos B，bc3，则a的最小值为()A1 BC2 D3解析：选B.在ABC中，因为3acos Abcos Cccos B，所以3sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A，即3sin Acos Asin A，又A(0，)，所以sin A0，所以cos A.因为bc3，所以两边平方可得b2c22bc9，由b2c22bc，可得92bc2bc4bc，解得bc，当且仅
9、当bc时等号成立，所以由a2b2c22bccos A，可得a2b2c2bc(bc)293，当且仅当bc时等号成立，所以a的最小值为.故选B.3(2023年湖北恩施2月质检)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B，b4，SABC4，则ABC的周长为_解析：由cos B，得sin B，由三角形面积公式可得acsin Bac4，则ac12，由b2a2c22accos B，可得16a2c2212，则a2c224，联立可得ac2，所以ABC的周长为44.答案：444已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc.若ab2
10、，则c的取值范围为_解析：在ABC中，因为(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，所以(acos Bbcos A)c，由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，所以2cos Csin(AB)sin C，即2cos Csin Csin C，又sin C0，所以cos C，因为C(0，)，所以C，BA，所以由正弦定理，可得a，b，因为ab2，所以2，整理得c，因为A，所以A，可得sin，所以c1，2)答案：1，2)5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和si
11、n(2AB)的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos ，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.6在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A60.(1)若ABC的面积为3，a，求bc；(2)若ABC是锐角三角形，求sin Bsin C的取值范围解：(1)由SABC3，得bcsin A3，即bcsin 603，得bc12.由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即b2c2bc13，所以(bc)213bc1，所以bc1或bc1.(2)因为A60，所以BC120，所以C120B.所以sin Bsin Csin Bsin(120B)sin Bsin 2Bsin.因为ABC是锐角三角形，所以C120B30，所以30B90，则302B30150，所以sin(2B30)1，sin(2B30)，所以sin(2B30)，所以sin Bsin C的取值范围是.7
