1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础题组练1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交 B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交 D与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面故选D.3已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形
2、C菱形 D正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC.又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形4已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件5(2023
3、年内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD2AB4，EFBA，则EF与CD所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选A.取CB的中点G，连接EG，FG.则EGAB，FGCD.所以EF与CD所成的角为EFG(或其补角)，因为EFAB，所以EFEG.EGAB1，FGCD2，所以在RtEFG中，sinEFG，所以EF与CD所成的角为30.故选A.6已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是 解析：如图，由题意可知MNAC.又因为ACAC，所以MNAC.答案：平行7给出下列四个命题：平面外的一条直线与
4、这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是 解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：8如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为 解析：如图
5、，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案：9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明：如图，连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三点共线10.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2
6、，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.综合题组练1如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析：选C.由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC
7、，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.2.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A是圆 B是椭圆C是抛物线 D不是平面图形解析：选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BCCD，再过点B作BEAD于点E，连接HE，因为AB平面BCD，所以ABCD.又BCCD，且ABBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH.又BHAC，且ACCDC，所以BH平面ACD，所以BHAD，BHHE.又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点B，E位置，可知，当点C运动时，点H运动的
8、轨迹是以BE为直径的圆故选A.3.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所
9、成的角为45.4.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.解：(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD.又CFFBCGGD，所以FGBD.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD.同理可得FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.7
