1、第3讲圆的方程基础题组练1已知圆C的圆心为(2，1)，半径长是方程(x1)(x4)0的解，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y2)24 B(x2)2(y1)24C(x2)2(y1)216 D(x2)2(y1)216解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x1)(x4)0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x2)2(y1)216.2(2023年河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30解析：选C.由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m
2、2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，故选C.3方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆4(2023年湖南长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2 C1 D22解析：选A.将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，选A.5点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24
3、D(x2)2(y1)21解析：选A.设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.6已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 解析：已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆答案：(2，4)57过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程为 解析：设圆的标准方程为(x
4、a)2(yb)2r2.因为圆心在直线y0上，所以b0，所以圆的方程为(xa)2y2r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x1)2y220.答案：(x1)2y2208若圆C与圆x2y22x0关于直线xy10对称，则圆C的方程是 解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(1，0)，由点A，C关于xy10对称得解得又因为圆的半径是1，所以圆C的方程是(x1)2(y2)21，即x2y22x4y40.答案：x2y22x4y409求适合下列条件的圆的方程(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，
5、C(9，2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.所以圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所以所求圆的方程为x2y22x4y950.10已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标
6、为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.综合题组练1(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为 解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r，因
7、此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案：(x2)2(y1)252已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是 解析：因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.答案：23(2023年高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由
8、题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.4已知圆C的方程为x2(y4)21，直线l的方程为2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|2，设P(a，2a)，则2，解得a2或a，所以点P的坐标为(2，4)或.(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(xb)(y4)(y2b)0，整理得x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由解得或所以该圆必经过定点(0，4)和.6
