1、课时作业43直线、平面垂直的判定和性质 基础达标一、选择题1已知两个平面相互垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是()A3 B2C1 D0解析：构造正方体ABCDA1B1C1D1，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，BD平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故错；，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，l是平面
2、ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故正确；，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错故选C.答案：C22023年安徽六安一中检测如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A直线OM与AC，MN均垂
3、直B直线OM与AC垂直，与MN不垂直C直线OM与AC不垂直，与MN垂直D直线OM与AC，MN均不垂直解析：因为DD1平面ABCD，所以ACDD1.又ACBD，DD1BDD，连接B1D1，所以AC平面BDD1B1.因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为2，则OM，MN，连接ON，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.答案：A32023年天津七校联考已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若mn，m，n，则解析：若，则或与相交，故A不正确；若mn，m，n，则或与相交，故B不正确；若mn，m，
4、则n或n，故C不正确；若mn，m，n，则，故D正确故选D.答案：D42017全国卷在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：如图， A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直， B，D错； A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1， A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC， BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1， A1EBC1) A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错故选C.答案：C520
5、23年河北衡水调研如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析：因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，且AE，PE平面PAE，所以BC平面PAE.因为DFBC，所以DF平面PAE.又DF平面PDF，所以平面PDF平面PAE，因此选项B，C均正确故选D.答案：D二、填空题62023年宁夏银川质检如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析：PA平面ABC，AB，A
6、C，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形所以图中共有4个直角三角形答案：47如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：PC在底面ABCD上的射影为AC，且ACBD，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)82023年全国卷已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2
7、，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_解析：设PO平面ABC于O，PEAC于E，PFBC于F，连接OE、OF、OC，PO平面ABC，POAC，又POPEP，AC平面POE，ACOE，同理有BCOF，四边形OECF为矩形，PCPC且PEPF，RtPECRtPFC，ECFC1，四边形OECF是边长为1的正方形，OC，在RtPOC中，PO.答案：三、解答题92023年辽宁五校模拟在如图所示的几何体中，DEAC，AC平面BCD，AC2DE4，BC2，DC1，BCD60.(1)证明：BD平面ACDE；(2)过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截
8、面与平面ABE之间的几何体的体积解析：(1)在BCD中，由余弦定理得BD22212212cos 603，所以BC2BD2DC2，所以BCD为直角三角形，BDCD.因为AC平面BCD，所以ACBD.而ACCDC，所以BD平面ACDE.(2)如图，取AC的中点F，BC的中点M，连接DF，DM，MF，则平面DFM即所求理由如下：因为DEAC，DEAF，所以四边形AEDF为平行四边形，所以DFAE，从而DF平面ABE，易证FM平面ABE.因为FMDFF，所以平面DFM平面ABE.由(1)可知，BD平面ACDE，FC平面CDM.V四棱锥BACDE，V三棱锥FCDM2，所以所求几何体的体积V.102023
9、年江西南昌模拟如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点(1)求证：平面EFG平面PAD；(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积解析：(1)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，且CDAD，所以CD平面PAD.在PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，所以EFCD，所以EF平面PAD.因为EF平面EFG，所以平面EFG平面PAD.(2)因为EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，所以CD平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平
10、面EFG的距离，连接DF，DG，如图，V三棱锥MEFGV三棱锥DEFG.取AD的中点H，连接GH，EH，FH，则EFGH，因为EF平面PAD，EH平面PAD，所以EFEH.于是SEFHEFEH2SEFG.平面EFG平面PAD，平面EFG平面PADEH，且易知EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为.所以三棱锥MEFG的体积V三棱锥MEFGV三棱锥DEFGSEFG.能力挑战112023年四川成都七中检测如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点，ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM；(2)求证：AC1平面
11、A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由解析：(1)如图，连接AB1，交A1B于点O，连接OM.在B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，OMB1C.又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，B1C平面A1BM.(2)侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，AA1BM.又M为棱AC的中点，ABBC，BMAC.AA1ACA，AA1，AC平面ACC1A1，BM平面ACC1A1，BMAC1.AC2，AM1.又AA1，在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA，AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，A1MAC1.BMA1MM，BM，A1M平面A1BM，AC1平面A1BM.(3)当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C.证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图D，M分别为AC1，AC的中点，DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，DMBN，且DMBN，四边形BNDM为平行四边形，BMDN，BM平面ACC1A1，DN平面AA1C1C.又DN平面AC1N，平面AC1N平面AA1C1C.9
