1、1.8排列、组合、二项式定理命题角度1计数原理、排列与组合问题高考真题体验对方向1.(2017全国6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D解析先把4项工作分成3份有C42C21C11A22种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有C42C21C11A22A33=36种,故选D.2.(2016全国5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B解析由题意
2、知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.3.(2016全国12)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C解析由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.4.(2017浙江16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,
3、要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案660解析由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31-C64C41C31=660种.5.(2023全国15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16解析方法一:当3人中恰有1位女生时,有C21C42=12种选法.当3人中有2位女生时,有C22C41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C63种选法,当3人全是男生时有C43种选法,所以至
4、少有1位女生入选时有C63-C43=16种选法.6.(2017天津14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案1 080解析没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个.典题演练提能刷高分1.有5名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有()A.8种B.16种C.32种D.48种答案B解析首先将甲排在中间,乙、丙两位同学不能相邻,则
5、两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有C21A21种方法,另外一人排在右侧,有A21种方法,余下两人排在余下的两个空,有A22种方法,综上可得,不同的站法有C21A21A21A22=16种.2.上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有()A.A62A54种B.A6254种C.C62A54种D.C6254种答案D解析因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有C62种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得C6254种情况,故选D.3.将5个不同的球放入4个不同的
6、盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种答案C解析第一步:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有C52种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有A33种排法,由乘法分步原理得不同方法共有4C52A33=240种,故选C.4.福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种答案B解析第一步,为甲地选一名志愿者,有C61=6种选法;第二步,为乙地选一名志
7、愿者,有C51=5种选法;第三步,为剩下两个展区各安排两个人,有C42C22=6种选法.故不同的安排方案共有656=180种.故选B.5.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400种B.28 800种C.38 880种D.43 200种答案C解析从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360种不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:(1)不使用新的颜色,有2种颜色分类方案;(2)使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有244=32种方案;第二类,染两条对边,有224=16种方案.(
8、3)使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有423=24种方案;第二类,染两条对边,有224=16种方案;第三类,染三条边,有422=16种方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案总数为3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38880,故选C.6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区,则不同的派遣方案种数为(用数字作答).答案36解析由题意可知,可分为两类:第一类:甲乙在一个地区时,剩余的三类分为两组,再三组派遣到三个地区,共有C32A
9、33=18种不同的派遣方式;第二类:甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区,另外两人分别在两个地区,共有C31A33=18种不同的派遣方式;由分类计数原理可得,不同的派遣方式共有18+18=36种.命题角度2求展开式中的指定项或其系数高考真题体验对方向1.(2023全国5)x2+2x5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80答案C解析由展开式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.当r=2时,x4的系数为C5222=40.2.(2023全国4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.24答案A解析(1+2
10、x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.3.(2017全国4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80答案C解析(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C5322(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C5223(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.4.(2015全国10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C解
11、析由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有当r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Si+1=C3i(x2)3-ixi=C3ix6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是C523=103=30.5.(2023浙江13)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.答案1625解析(2+x)9的通项为Tr+1=C9r(2)
12、9-rxr(r=0,1,2,9),可得常数项为T1=C90(2)9=162.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系数为有理数,共5个.6.(2023天津10)2x-18x38的展开式中的常数项为.答案28解析Tr+1=C8r(2x)8-r1-8x3r=C8r28-r-18rx8-4r.需8-4r=0,r=2.常数项为C8226-182=C8226126=C82=28.典题演练提能刷高分1.(x2+2)1x-15展开式中的常数项是()A.12B.-12C.8D.-8答案B解析由1x-15展开式的第r+1项Tr+1=C5r1x5-r(-1)r=(-1)r
13、C5rxr-5,得(x2+2)1x-15展开式的通项为x2(-1)rC5rxr-5=(-1)rC5rxr-3或2(-1)rC5rxr-5,则当r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5时,为展开式的常数项,即(-1)3C53+2(-1)5C55=-12.故选B.2.x2+1x6展开式的常数项为.(用数字作答)答案15解析由题得x2+1x6展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r1xr=C6rx12-3r(r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x2+1x6展开式的常数项为C64=15.3.在2x+1x26的展开式中x-3的系数为.答案160解析展开式的通项为Tr+1
14、=C6r(2x)6-r1x2r=C6r26-rx6-3r,令6-3r=-3r=3,所以系数为C6323=160.4.(x+y)(x-y)8的展开式中x2y7的系数为(用数字作答).答案20解析(x-y)8展开式的通项公式为Tr+1=C8rx8-r(-y)r=(-1)rC8rx8-ryr,令r=7,则展开项为(-1)7C87x8-7y7=-8xy7,令r=6,则展开项为(-1)6C86x8-6y6=28x2y6,据此可得展开式中x2y7的系数为-8+28=20.5.(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是5,则a=.答案-1解析(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数是1C52+aC51=10+5a,所以10+5a=5,故a=-1.命题角度3二项式系数与项的系数问题高考真题体验对方向1.(2015湖北3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案D解析由条件知Cn3=Cn7,n=10.(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.2.(2015全国15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案3解析一(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+
