1、能力升级练(二十四)分类讨论思想一、选择题1.已知集合A=x|1x5,C=x|-axa+3.若CA=C,则a的取值范围为()A.-32,-1B.-,-32C.(-,-1D.-32,+解析因为CA=C,所以CA.当C=时,满足CA,此时-aa+3,得a-32;当C时,要使CA,则-aa+3,-a1,a+35,解得-323,2x-3+1,x3满足f(a)=3,则f(a-5)的值为()A.log23B.1716C.32D.1解析分两种情况分析,a3,2a-3+1=3,或者a3,log2(a+1)=3,无解,由得a=7,所以f(a-5)=22-3+1=32,故选C.答案C3.已知数列an的前n项和Sn
2、=Pn-1(P是常数),则数列an是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对解析Sn=Pn-1,a1=P-1,an=Sn-Sn-1=(P-1)Pn-1(n2).当P1且P0时,an是等比数列;当P=1时,an是等差数列;当P=0时,a1=-1,an=0(n2),此时an既不是等差数列也不是等比数列.答案D4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=34x,则双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或45解析若双曲线的焦点在x轴上,则ba=34,e=ca=1+(ba)2=54;若双曲线的焦点在y轴上,则ba=43,e=ca=1+(ba
3、)2=53,故选C.答案C5.已知变量x,y满足的不等式组x0,y2x,kx-y+10表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于()A.-12B.12C.0D.-12或0解析不等式组x0,y2x,kx-y+10表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图)时,平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或-12.答案D6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6解析当选0时,先从1
4、,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,剩余一个数字排在首位,共有C32C21=6种方法;当选2时,先从1,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,其余两个数字全排列,共有C32C21A22=12种方法.依分类加法计数原理知,共有6+12=18个奇数.答案B二、填空题7.若x0且x1,则函数y=lg x+logx10的值域为.解析当x1时,y=lgx+1lgx2lgx1lgx=2,当且仅当lgx=1,即x=10时等号成立;当0x|PF2|,则|PF1|PF2|的值为.解析若PF2F1=90,则|PF1
5、|2=|PF2|2+|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,解得|PF1|=143,|PF2|=43,|PF1|PF2|=72.若F2PF1=90,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,|PF1|PF2|=2.综上所述,|PF1|PF2|=2或72.答案2或7210.设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,),则q的取值范围是.解析因为an是等比数列,Sn0,可得a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10;当q1时,Sn=a1(1-qn)1-q0,即1-qn1-q0(n
6、N*),则有1-q0,1-qn0或1-q0,1-qn0,由得-1q1.故q的取值范围是(-1,0)(0,+).答案(-1,0)(0,+)三、解答题11.已知函数g(x)=axx+1(aR),f(x)=ln(x+1)+g(x).(1)若函数g(x)过点(1,1),求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)判断函数f(x)的单调性.解(1)因为函数g(x)过点(1,1),所以1=a1+1,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+2xx+1.由f(x)=1x+1+2(x+1)2=x+3(x+1)2,则f(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方
7、程为y=3x.(2)因为f(x)=ln(x+1)+axx+1(x-1),所以f(x)=1x+1+a(x+1)-ax(x+1)2=x+1+a(x+1)2.当a0时,因为x-1,所以f(x)0,故f(x)在(-1,+)上单调递增.当a0时,由f(x)-1,得-1x0,x-1,得x-1-a,故f(x)在(-1-a,+)上单调递增.综上,当a0时,函数f(x)在(-1,+)上单调递增;当a0),且经过F1,F2两点,Q是椭圆C上的动点且在圆P外,过Q作圆P的切线,切点为M,当|QM|的最大值为322时,求t的值.解(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),依题意可得2b=|1-9|2=4,所以b=2,又c=1,所以a2=b2+c2=5,所以椭圆C的方程为x25+y24=1.(2)设Q(x,y),圆P的方程为x2+(y-t)2=t2+1,连接PM(图略),因为QM为圆P的切线,所以PMQM,所以|QM|=|PQ|2-t2-1=x2+(y-t)2-t2-1=-14(y+4t)2+4+4t2.若-4t-2,即t12,当y=-2时,|QM|取得最大值,且|QM|max=4t+3=322,解得t=38-2,即0t12,当y=-4t时,|QM|取得最大值,且|QM|max=4+4t2=322,解得t2=18,又0t12,所以t=24.综上,当t=24时,|QM|的最大值为322.8
