1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数(表示不超过x的最大整数),若有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是()ABCD2直三棱柱中,则直线与所成的角的余弦值为( )ABCD3定义在上的函数满足,且为奇函数,则的图象可能
2、是( )ABCD4已知条件,条件直线与直线平行,则是的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件5等比数列的各项均为正数,且,则( )A12B10C8D6已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为( )ABCD7函数的部分图象大致是( )ABCD8甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是( )ABCD9已知为等比数列,则( )A9B9CD10复数满足,则复数在复平面内所对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11已知函数,
3、若,则的取值范围是( )ABCD12如图,平面四边形中,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知向量,则_.14若,则_15若函数,则_;_.16在三棱锥中,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列为公差不为零的等差数列,是数列的前项和,且、成等比数列,.设数列的前项和为,且满足.(1)求数列、的通项公式;(2)令,证明:.18(12分)如图,四棱锥EABCD的侧棱DE与四棱
4、锥FABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,/,.(1)证明:/平面BCE. (2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为,求.19(12分)已知是公比为的无穷等比数列,其前项和为,满足,_是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由从,这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答20(12分)在中,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60,连接,如图:(1)证明:平面平面(2)求平面与平面所成二面角的大小.21(12分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A (k0)的一个特征向量为,A的逆矩阵A1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)求实
5、数a,k的值22(10分)已知椭圆的离心率为,且过点()求椭圆的方程;()设是椭圆上且不在轴上的一个动点,为坐标原点,过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点,求的值2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】根据x的定义先作出函数f(x)的图象,利用函数与方程的关系转化为f(x)与g(x)=ax有三个不同的交点,利用数形结合进行求解即可【题目详解】当时,当时,当时,当时,若有且仅有3个零点,则等价为有且仅有3个根,即与有三个不同的交点,作出函数和的图象如图,当a=1时,与有
6、无数多个交点,当直线经过点时,即,时,与有两个交点,当直线经过点时,即时,与有三个交点,要使与有三个不同的交点,则直线处在过和之间,即,故选:A【答案点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域(最值)问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.2、A【答案解析】设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【题目详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,四边形为平行四边
7、形,(或补角)为直线与所成的角,在中,在中,在中,在中,在中,.故选:A.【答案点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.3、D【答案解析】根据为奇函数,得到函数关于中心对称,排除,计算排除,得到答案.【题目详解】为奇函数,即,函数关于中心对称,排除.,排除.故选:.【答案点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于中心对称是解题的关键.4、C【答案解析】先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.【题目详解】因为直线与直线平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要条件.故选C【答案点睛】本题主要考查充分条件和
8、必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.5、B【答案解析】由等比数列的性质求得,再由对数运算法则可得结论【题目详解】数列是等比数列,故选:B.【答案点睛】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则,掌握等比数列的性质是解题关键6、D【答案解析】设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【题目详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D【答案点睛】本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.7、C【答案解析】判断函数的性质,和特殊值的正负,以及值域,逐一
9、排除选项.【题目详解】,函数是奇函数,排除,时,时,排除,当时, 时,排除,符合条件,故选C.【答案点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,属于基础题型,一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.8、D【答案解析】先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【题目详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是. 故选:D【答案点睛】
10、本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.9、C【答案解析】根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【题目详解】,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时, ;当时, ,.故选:C【答案点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.10、B【答案解析】设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【题目详解】设,则,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【答案点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.11、B【答案解析】对分类讨论,代入解析式求
11、出,解不等式,即可求解.【题目详解】函数,由得或解得.故选:B.【答案点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式,属于基础题.12、C【答案解析】由题意可得面,可知,因为,则面,于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点,进而算出,外接球半径为1,得出结果.【题目详解】解:由,翻折后得到,又,则面,可知又因为,则面,于是,因此三棱锥外接球球心是的中点计算可知,则外接球半径为1,从而外接球表面积为故选:C.【答案点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【答案解析】由题意
12、得,再代入中,计算即可得答案.【题目详解】由题意可得,解得,.故答案为:.【答案点睛】本题考查向量模的计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意向量数量积公式的运用.14、【答案解析】因为,由二倍角公式得到 ,故得到 故答案为15、0 1 【答案解析】根据分段函数解析式,代入即可求解.【题目详解】函数,所以,.故答案为:0;1.【答案点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用,属于基础题.16、【答案解析】根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的
13、几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】如图所示:过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.易证面,而三角形为等边三角形, 为的中点.设, .故三棱锥的体积为当且仅当时,即.三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,四边形为矩形.则,在中,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:【答案点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)证明见解析【答案解析】(1)利用首项和公差构成方程组,从而求解出的通项公式;由的通项公式求解出的表达式,根据以及,求解出的通项公式;(2)利用错位相减法求解出的前项和,根据不等关系证明即可.【题目详解】(1)设首项为,公差为.由题意,得,解得,当时,.当时,满足上式.(2),令数列的前项和为.两式相减得恒成立,得证.【答案点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用,难度一般.(1)当用求解的通项公式时,一定要注意验证是否成立;(2)当一个数列符合等差乘以