1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的右焦点为,过的直线交双曲线的渐近线于两点,且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍,若,则该双曲线的离心率为( )ABCD2某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂
2、线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是( ) ABCD3若复数满足(是虚数单位),则( )ABCD4设等比数列的前项和为,则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率ABCD6已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是( )ABC或D7设全集为R,集合,则ABCD8已知ABC中,点P为BC边上的动点,则的最小值为()A2BCD9从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下
3、频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为ABCD10已知复数满足,则的共轭复数是( )ABCD11公比为2的等比数列中存在两项,满足,则的最小值为( )ABCD12一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是( )A16B12C8D6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在250,400)内的学生共有_人14已知向量,若满足,且方向相同,则_15在九章算术中,
4、将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则_16记为数列的前项和,若,则_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知是递增的等比数列,且、成等差数列.()求数列的通项公式;()设,求数列的前项和.18(12分)如图所示,在四面体中,平面平面,且.(1)证明:平面;(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.19(12分)如图,四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面. (1)求证: 是的中点;(2)在上是否存在点,使二面角为
5、直角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.20(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数、满足,求证:.21(12分)中国古代数学经典数书九章中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中,底面ABCD是矩形.平面,以的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).(1)证明:平面,并判断四面体MCDA是否是鳖臑,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22(10分)已知函数.(1)当时,求函数的值域;(2)的角的对
6、边分别为且,求边上的高的最大值.2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】先求出直线l的方程为y(xc),与yx联立,可得A,B的纵坐标,利用,求出a,b的关系,即可求出该双曲线的离心率【题目详解】双曲线1(ab0)的渐近线方程为yx,直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍,kl,直线l的方程为y(xc),与yx联立,可得y或y,2,ab,c2b,e故选B【答案点睛】本题考查双曲线的简单性质,考查向量知识,考查学生的计算能力,属于中档题2、D【答案解析】利用定积分计算出矩形
7、中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【题目详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【答案点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.3、B【答案解析】利用复数乘法运算化简,由此求得.【题目详解】依题意,所以.故选:B【答案点睛】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.4、C【答案解析】根据等比数列的前项和公式,判断出正确选项.【题
8、目详解】由于数列是等比数列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要条件.故选:C【答案点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查等比数列前项和公式,属于基础题.5、B【答案解析】设,则,因为,所以若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率故选B6、D【答案解析】先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【题目详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.【答案点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次
9、函数零点的求法,属于中档题.7、B【答案解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.详解:由题意可得:,结合交集的定义可得:.本题选择B选项.点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【答案解析】以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系,可得,设,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹,进而得到关于a的二次函数,可得最小值【题目详解】以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得,设,由,可得,即,则,当时,的最小值为故选D【答案点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查转化思想和二次函数的值域解法,考查运算能力,属于中档
10、题9、C【答案解析】由题可得,解得,则,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C10、B【答案解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【题目详解】由,得,所以故选:B【答案点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.11、D【答案解析】根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【题目详解】,当时,当时,当时,当时,当时,当时,最小值为.故选:D.【答案点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.12、B【答案解析】根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长
11、,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【题目详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【答案点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、750【答案解析】因为,得,所以。14、【答案解析】由向量平行坐标表示计算注意验证两向量方向是否相同【题目详解】,解得或,时,满足题意,时,方向相反,不合题意,舍去故答案为:1【答案点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题
12、时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错15、【答案解析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出【题目详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故故答案为【答案点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主
13、要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.16、-254【答案解析】利用代入即可得到,即是等比数列,再利用等比数列的通项公式计算即可.【题目详解】由已知,得,即,所以又,即,所以是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以,即,所以。故答案为:【答案点睛】本题考查已知与的关系求,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、();().【答案解析】()设等比数
14、列的公比为,根据题中条件求出的值,结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式;()求得,然后利用裂项相消法可求得.【题目详解】()设数列的公比为,由题意及,知.、成等差数列成等差数列,即,解得或(舍去),.数列的通项公式为;(),.【答案点睛】本题考查等比数列通项的求解,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于基础题.18、(1)见证明;(2)【答案解析】(1)根据面面垂直的性质得到平面,从而得到,利用勾股定理得到,利用线面垂直的判定定理证得平面;(2)设,利用椎体的体积公式求得 ,利用导数研究函数的单调性,从而求得时,四面体的体积取得最大值,之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【题目详解】(1)证明:因为,平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为