1、 普通高等学校工科类经管类数学深化训练与考研辅导丛书 高等数学高等数学 深化训练与考研指导深化训练与考研指导 刘 强 丛书主编 袁安锋 刘 强 窦昌胜 编著 李 霞 孙晓梅 熊 萍 副主编 内 容 简 介 本书是作者在多年本科教学和考研辅导经验的基础上编写而成的全书共分为 11 章，每章包括 5 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练本书编写的主要目的有两个：一是为了满足学生报考研究生的需要，本书编写紧扣“数学一”考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类、详略得当，帮助考研学生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举
2、一反三的学习效果；二是帮助学有余力的在校本科生更好地学习“高等数学”课程，开阔学习视野，拓展解题思路 本书既可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书，也可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“高等数学”课程的深化训练用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学深化训练与考研指导/袁安锋，刘强，窦昌胜编著.北京：电子工业出版社，2017.5 ISBN 978-7-121-31148-2 I高 II袁 刘 窦 III高等数学高等学校教学参考资料 IVO13 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2017)第 05752
3、2 号 策划编辑：王二华 责任编辑：王二华 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871092 1/16 印张：22.75 字数：580 千字 版 次：2017 年 5 月第 1 版 印 次：2017 年 5 月第 1 次印刷 定 价：49.90 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：(010)88254532。前 言 为了更好地帮助普通高等学校工
4、科类、经管类本科生学好大学数学，同时为了满足众多考生考研的需要，我们结合多年的考研辅导经验，编写了“普通高等学校工科类经管类数学深化训练与考研辅导丛书”该丛书包括微积分、高等数学、线性代数、概率论与数理统计及大学生数学竞赛课程的训练辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编 本书涵盖了考研“数学一”中高等数学部分的全部考点本书编写的主要目的有两个：一是帮助学有余力的在校学生更好地学习“高等数学”课程，以开阔学习视野，拓展解题思路；二是为了满足学生报考研究生的需要，本书编写紧扣考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类、详略得当，使考生能在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，综合分析问题、解决
5、问题的能力得到有效提升，达到融会贯通、举一反三的学习效果 全书共分为 11 章，每章包括 5 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练具体模块内容介绍如下.一、知识要点知识要点：本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容 二、典型例题分析二、典型例题分析：本模块在作者多年考研辅导经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的考研真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧 三、深化训练：三、深
6、化训练：本模块精心选编了部分具有代表性的习题及历年的考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三 四、深化训练详解：四、深化训练详解：本部分对深化训练部分给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维 五、综合提高训练：五、综合提高训练：本部分的例题综合性较强，有较高的难度和较强的灵活性，通过本模块的学习，提升读者的综合能力和应变能力 为了便于读者阅读本书，书中有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用“*”标出 另外为了便于读者查阅，本书在考研真题后面加上了标志，如【2010（1）】表示该题是 2010年硕士研究生
7、入学考试“数学一”考题，【2010（1，3）】表示该题是 2010 年“数学一”和“数学三”考题，其余类推 本丛书在编写过程中，得到了北京工业大学程维虎教授、李高荣教授，北京工商大学曹显兵教授，北方工业大学刘喜波教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，中央财经大学贾尚晖教授及同事的大力支持，电子工业出版社高教分社的谭海平社长和王二华编辑也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢 IV本书既可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书，也可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“高等数学”课程的深化训练用书.由于作者
8、水平有限，尽管付出了很大努力，但书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行们不吝指正邮件地址为：.作 者 2017 年 4 月 目 录 第 1 章 函数与极限 1 1.1 知识要点 1 1.1.1 映射与函数 1 1.1.2 函数的基本特性 1 1.1.3 反函数 2 1.1.4 复合函数 3 1.1.5 基本初等函数与初等函数 3 1.1.6 极限的概念与性质 3 1.1.7 无穷小与无穷大 4 1.1.8 极限的运算法则 5 1.1.9 极限存在准则与两个重要极限 5 1.1.10 函数的连续性 6 1.1.11 函数的间断点 6 1.1.12 连续函数的性质 7 1.1.13 闭区间
9、上的连续函数的性质 7 1.1.14 一些重要的结论 8 1.1.15 一些常用的公式 8 1.2 典型例题分析 9 1.2.1 题型一、函数定义域的求解 9 1.2.2 题型二、函数表达式的求解 10 1.2.3 题型三、反函数的求解 11 1.2.4 题型四、复合函数的求解 11 1.2.5 题型五、函数的基本特性 12 1.2.6 题型六、极限的概念与性质 问题 14 1.2.7 题型七、利用极限的四则运算 法则求极限 15 1.2.8 题型八、利用单侧极限的性质 求极限 16 1.2.9 题型九、利用两个重要极限求 极限 17 1.2.10 题型十、利用等价无穷小量 替换求极限 17
10、1.2.11 题型十一、利用极限存在准则 求极限 18 1.2.12 题型十二、函数的连续性 问题 20 1.2.13 题型十三、连续函数的等式 证明问题 21 1.3 深化训练 22 1.4 深化训练详解 25 1.5 综合提高训练 31 第 2 章 导数与微分 36 2.1 知识要点 36 2.1.1 导数的概念 36 2.1.2 导数的几何意义与物理意义 36 2.1.3 基本初等函数的导数公式 37 2.1.4 导数的四则运算法则 37 2.1.5 常用求导法则 37 2.1.6 高阶导数 38 2.1.7 微分的概念与性质 39 2.1.8 微分在近似计算中的应用 40 2.2 典型
11、例题分析 41 2.2.1 题型一、导数与微分的定义 问题 41 2.2.2 题型二、分段函数的求导 问题 43 2.2.3 题型三、导数的几何意义 44 2.2.4 题型四、导函数的几何特性 问题 45 2.2.5 题型五、利用可导性求参数 值（域）46 2.2.6 题型六、高阶导数问题 47 2.2.7 题型七、反函数、复合函数的 求导问题 48 2.2.8 题型八、隐函数的求导问题 49 2.2.9 题型九、导函数的连续性 问题 50 2.2.10 题型十、参数方程的求导 问题 50 VI2.2.11 题型十一、微分问题 51 2.3 深化训练 52 2.4 深化训练详解 54 2.5
12、综合提高训练 59 第 3 章 中值定理与导数的应用 60 3.1 知识要点 60 3.1.1 中值定理 60 3.1.2 洛必达法则 60 3.1.3 函数的单调区间 61 3.1.4 函数的极值 61 3.1.5 函数的凹凸区间与拐点 61 3.1.6 曲线的渐近线 61 3.1.7 函数作图 62 3.1.8 曲率、曲率圆与曲率半径 62 3.1.9 一些常用的麦克劳林公式 62 3.2 典型例题分析 63 3.2.1 题型一、利用中值定理证明 等式问题 63 3.2.2 题型二、利用中值定理证明 不等式问题 65 3.2.3 题型三、洛必达法则的应用 65 3.2.4 题型四、函数的凹
13、凸性与拐点 问题 67 3.2.5 题型五、显式不等式的证明 问题 69 3.2.6 题型六、函数的零点（方程的根）问题 71 3.2.7 题型七、渐近线问题 71 3.2.8 题型八、泰勒公式的应用 问题 73 3.2.9 题型九、曲率问题 74 3.3 深化训练 75 3.4 深化训练详解 77 3.5 综合提高训练 85 第 4 章 不定积分 89 4.1 知识要点 89 4.1.1 不定积分的定义与性质 89 4.1.2 换元积分法 89 4.1.3 分部积分法 90 4.1.4 有理函数积分法 90 4.1.5 三角函数有理式的积分法 90 4.1.6 简单无理函数的积分法 91 4
14、.1.7 常用积分公式表 91 4.2 典型例题分析 92 4.2.1 题型一、不定积分的概念与 性质问题 92 4.2.2 题型二、利用换元积分法求解 不定积分 92 4.2.3 题型三、利用分部积分法求解 不定积分 94 4.2.4 题型四、利用等式ddu vv u+=uvC+求解不定积分 96 4.2.5 题型五、求解有理函数的不定 积分 96 4.2.6 题型六、求解三角函数有理式 的不定积分 97 4.2.7 题型七、简单无理函数的不定 积分 98 4.2.8 题型八、递推公式问题 99 4.2.9 题型九、分段函数的积分 问题 100 4.3 深化训练 101 4.4 深化训练详解
15、 103 4.5 综合提高训练 108 第 5 章 定积分及其应用 112 5.1 知识要点 112 5.1.1 定积分的定义 112 5.1.2 定积分的几何意义与物理 意义 112 5.1.3 定积分的性质 113 5.1.4 积分上限的函数及其导数 114 5.1.5 定积分的计算 114 5.1.6 反常积分（或广义积分）114 5.1.7 几个重要的结论 115 5.1.8 定积分的应用 116 5.2 典型例题分析 120 5.2.1 题型一、有关定积分概念与 性质的问题 120 VII5.2.2 题型二、利用换元法和分部 积分法求解积分 122 5.2.3 题型三、带有技巧性的定
16、积分 计算问题 125 5.2.4 题型四、积分上限的函数及 其导数问题 127 5.2.5 题型五、积分等式问题 129 5.2.6 题型六、积分不等式问题 131 5.2.7 题型七、广义积分问题 133 5.2.8 题型八、定积分的应用问题 135 5.3 深化训练 137 5.4 深化训练详解 142 5.5 综合提高训练 151 第 6 章 微分方程 158 6.1 知识要点 158 6.1.1 一阶微分方程及解法 158 6.1.2 可降阶的高阶微分方程及 解法 159 6.1.3 二阶线性微分方程 160 6.1.4 高阶线性微分方程 161 6.1.5 欧拉方程 161 6.2 典型例题分析 162 6.2.1 题型一、一阶微分方程的 求解 162 6.2.2 题型二、高阶微分方程的 求解 164 6.2.3 题型三、利用通解性质求解 相关问题 167 6.2.4 题型四、微分方程的应用 169 6.3 深化训练 171 6.4 深化训练详解 173 6.5 综合提高训练 182 第 7 章 空间解析几何与向量代数 186 7.1 知识要点 186 7.1.1 向量的概
