1、第 卷 第期 年月地球物理学报 ，韩复兴，常志邈，孙章庆等 基于小振幅波方程的起伏海面构建及其对地震波场传播特性的影响地球物理学报，（）：，：，.（），（）：，：基于小振幅波方程的起伏海面构建及其对地震波场传播特性的影响韩复兴，常志邈，孙章庆，高正辉，王雪秋吉林大学地球探测科学与技术学院，长春 摘要海面起伏状态对波场传播以及模型空间成像有着非常重要的影响，在常规海洋地震数据采集和处理中，都是将海面作为水平界面处理，实际海洋地震数据采集中，由于海水受风浪、洋流等的影响，海面呈现高低起伏状态，这样来自底层反射界面的反射波经过海水起伏界面反射后会引起波场的强烈散射，从而造成地震记录反射波同相轴抖动和
2、畸变，最终影响成像效果 为了更加深入了解起伏海面存在对波场传播以及偏移成像的影响，本文首先基于流体力学小振幅波方程，从边界条件出发，给出包含海浪谱信息的动态边界条件，并在此基础上构建起伏海面速度模型；然后在构建的起伏海面速度模型上通过冻结不同时刻海面开展波场传播特征分析，研究起伏海面在不同冻结时刻下波场传播规律以及对反射地震记录和偏移成像的影响 研究结果表明，不管是对于简单的层状介质模型还是海底较为复杂的大水深模型，海面不同形态的起伏变化直接影响着波场记录以及波场快照形态，同时会对偏移成像结果造成较大影响，随着海水深度的增加，该影响对于简单模型影响逐渐变小，但对于复杂模型，影响依然很严重关键词
3、起伏海面；波场特征；小振幅波方程；偏移成像 ：中图分类号 收稿日期 ，收修定稿基金项目国家自然科学基金面上项目（），国家重点研发计划子课题“深海油气地震勘探高精度速度建模技术”（）联合资助第一作者简介韩复兴，男，年生，汉族，陕西省西安市人，博士，教授，主要从事地震波传播与成像、计算地球物理方面的学习与研究 ：通讯作者孙章庆，男，年生，教授，博士生导师，主要从事地震波传播理论与成像技术、高分辨率储层反演与智能预测、计算地球物理、岩石物理、工程与灾害地球物理等方面研究工作 ：，期韩复兴等：基于小振幅波方程的起伏海面构建及其对地震波场传播特性的影响 ，；引言在常规的海洋地震数据采集和处理中，海面通常
4、被视为水平界面，但是在实际的海洋地震数据采集中，由于海水受风浪、洋流等自然条件的影响，海面通常来说是高低起伏的，这样来自底层反射界面的初次反射波在遇到起伏海面后，再次反射会引起振幅和相位的扰动，并且产生伴随着主反射的尾波以及散射，这些信息被检波器接收后，成为海洋地震成像的一项重要误差来源（，；，）同时由于海面的起伏会造成能量在实际传播的过程中随着海平面起伏而发生传播路径的改变，并且由于海面起伏拥有动态性的特征，使其处理方式不能与常规地表起伏校正完全相同（曲英铭等，），从而产生较大的误差，影响地震资料处理结果针对动态起伏海面建模问题，目前的建模方法大致分为两大类：第一类是基于真实物理的建模方法，
5、主 要 是 依 据 流 体 力 学 方 程（方程）这种方法将流体看作整体，通过计算流体整体的受力情况，进而模拟出起伏的海面状态（刘应中等，），或者是将流体看作粒子，使用光滑粒子流体力学算法在微观上进行模拟，进而在宏观上表现出水体的运动模式（孙晓艳和王军，；沈雁鸣等，），或者是将 方程进一步转换为小振幅波方程，再进行海面的模拟（文圣常和余宙文，）；第二类是数学建模方法，这类方法是统计学与几何学相结合的一种方法，其算法的基本结构是，使用统计学得到的海浪谱经验公式，代入几何形状参数公式，进行叠加后便可得到类似真实的起伏海面 情 况（，；刘 洁 等，；齐宁等，；李浩正等，）这两类方法各有利弊，物理建模
6、方法虽然使海面情况符合了物理定律，但是由于其极长的计算时间和复杂的稳态化过程，使其在海面实时性仿真领域应用不是特别广泛 数学建模方法的一大优势便是计算速度快，在结合海浪谱参数后，使其模拟出的海面起伏情况更加符合事实针对起伏海面存在对能量传播路径以及定位问题，国内外学者做了大量的研究工作 和 （，）在研究起伏海面对时移地震偏移成像的结果中指出，在适度平静的海面环境下，起伏海面对反射地震数据在某些频段上的振幅、相位有着较大的影响，在动态起伏的环境下，海面起伏对反射地震数 据 频 段 上 振 幅 相 位 的 影 响 更 大 王 先 华 等（）指出当声波的频率较高或海面起伏较大时，起伏海面对声能量的传
7、播路径和传播损失影响比较大，指出在进行水下声传播规律的研究或地声参数反演研究时，应当充分考虑海面的起伏状态对能量传播的影响齐鹏（）引入海洋科学中的（，）谱，描述随机起伏海面形状，采用随机介质建模方法描述海水的深海声道现象及小尺度速度非均匀性的特点，建立了符合地 球 物 理 学 报（）卷实际海水物理学特点的起伏海面海水随机介质速度模型，通过对比起伏海面海水随机介质模型与水平海面海水随机介质模型的地震记录，发现起伏海面存在对一次反射波的影响非常大，通过分析得出一次反射波的同相轴形状发生明显变化，已不是标准双曲线，呈现出与起伏海面形状吻合的弯曲 周建波等（）基于传输理论建立随机起伏界面下噪声场垂直相
8、关性和指向性模型，仿真分析了海面起伏对噪声强度、垂直相关性与指向性的影响，结果表明，海面起伏不仅影响各阶模态幅度，还会扰动各阶模态相位，降低模态之间相关性，最终导致噪声场相关性越弱 王振等（）基于简正波理论仿真分析了海面波动对声场起伏的影响，指出在远离声源与接收器的传播路径之间的海面波动对声场的影响较小，反之海面的起伏对传播路径的影响较大 孟祥羽等（，）利用不等距有限差分法实现小尺度起伏海面的波场自由表面边界条件，以此进行正演、波场照明分析，同时利用逆时偏移进行了起伏海面下的成像并对成像结果进行分析，结果表明起伏海面引起的复杂散射使靶区地下照明不均匀、成像界面发生弯曲和畸变，从而降低成像结果的
9、分辨率和信噪比前人的研究比较侧重于起伏海面的存在对能量传播以及信道的影响，为了更加深入的了解起伏海面存在对波场传播以及偏移成像的影响，本文首先基于流体力学中的小振幅波方程，借鉴地震波波动方程的差分格式和边界处理方法，将小振幅波方程进行差分，从边界条件出发，推导包含海浪谱信息的动态边界条件，建立以动态边界条件为基础的起伏海面速度模型；然后在建立的起伏海面速度模型上开展波场的传播特性分析，研究起伏海面条件下的波场传播特征，最后分析起伏海面条件下偏移成像问题，研究起伏海面对模型空间结构的影响基于流体力学小振幅波方程的起伏海面建模对于起伏海面模型的建立，假设水体处于均匀非黏性不可压缩的状态，基于流体动
10、力学原理的水波模型构建方法，即小振幅波方程理论构建方法（文圣常和余宙文，；，），其方程如下：（，）（，）（，）（），（，）（）其中，为海面水体高度，为重力加速度，为水体的深度，为时间，为空间坐标，为海面起始水面高度地球物理中常用的二维地震声波波动方程为：（，）（，）（，）（），（）公式（）中，为质点振动的位移，为声波在介质中的传播速度对比公式（）和（）不难发现，二者具有高度的相似性 因此，地球物理中关于波动方程数值模拟的相关算法均可应用于构建海面起伏状态的 方程 采用二阶中心差分格式对公式（）进行离散化，求取相应的差分格式：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），（）式中，为空
11、间步长，为时间步长 数值模拟中如果令，那么（）式可以简化为：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），（）式中，.公式（）可稳定迭代不发散（陈可洋，）基于流体力学的波动方程法模拟起伏海面的本质，实际上也是地震波传播规律的一种表现形式，因此，波动方程波场传播中采用有限差分法计算过程中遇到的相关计算问题，在起伏海面模拟中也会出现，比如边界效应；除此之外，由于基于流体力学波动方程法公式（）模拟起伏海面只在初始条件考虑了海面起伏状态下的风速、风向等信息，在后期计算时并没有将风速和风向随时间的动态变化考虑进去，所以模拟过程中随着计算的推进，其模拟计算结果的精度会越来越低因此本文考虑从边界条
12、件出发，给出包含海浪谱信息的动态边界条件，并在此基期韩复兴等：基于小振幅波方程的起伏海面构建及其对地震波场传播特性的影响础上模拟起伏海面的动态变化过程 假设上风向边界的某一点坐标为（，），并且该点在平衡面上下垂直做简谐运动，在垂直方向的运动轨迹表达式为：（），（）式中，为该点的轴坐标，为运动强度（能量），为运动频率，为运动时间，为随机初始相位海浪谱 函 数 公 式 中 的 运 动 强 度可 以 表 示 为（，）：（，），式中，（，）为 方向谱对于海面上每一个运动的质点，海浪谱的每一个频率都对应着一个简谐波的运动，有：（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），将上述各式求和得：（，）（）.
13、（）在二维情况下，波会从不同方向传播，假设角度为的波传播到空间点（，）处，那么空间点（，）处的高度就可以写作：（，）（），加上随机相位后可以得到：（，）（），再加上海浪谱规定的角频率下的振幅，即：（，）（，）（），根据海浪仿真理论，当水深足够时，波数可以表示为.为了保证所有满足条件的点在沿轴方向上也具有连续性，当波沿轴激发时，假设从的位置激发，并且叠加各个角度分量的波，那么方程（）可以写为：（，）（，）（），（），（），是指二维情况下的随机初始相位 公式（）即为波动方程法模拟起伏海面方程中的下边界条件，当该边 界 为 上 风 向 时，其 余 边 界 无 需 代 入 该 条 件（，）应用公式（）
14、结合公式（）即可按照时间步长计算二维情况下每时每刻的海面起伏状态 给定初始参数，如表所示，应用公式（）和边界条件（）模拟的四个不同时刻（，）的起伏海面如图 所示，为了更加清楚的表示海面的起伏变化，抽取四个不同时刻 处方向上所有点位的变化情况如图 所示表起伏海面建模参数表 参数数值海面 处风速风向风向划分数 风向间隔 频率间隔 计算网格 时间步长冻结某个时刻，取出该时刻海面的起伏数据，并结合地震波场数值模拟给定的速度模型，共同构建的地震波场传播起伏海面速度模型如图所示从图 四个不同时刻的整体起伏变化情况以及图 固定方向方向上所有点位的起伏变化可以看出波浪随时间向前推进的效果，由于边界条件是随时间
15、变化并且不会消失，所以如果要在固定模型上进行长时间的海面动态模拟，同地震波场数值模拟类同，需要在其他边界上增加吸收边界条件来抵消边界的反射起伏海面下的波场分析为了说明起伏海面存在对波场传播的影响，建立层状介质速度模型，模型大小为 ，网格间距为 ，海水深度为 ，层速度 ，根据表参数模拟的起伏海面，冻结个静止时刻的起伏海面如图、所示，二维情况下水平海面速度模型及静止时态、的起伏海面速度模型如图所示根据图的速度模型，设置炮点位置为 点位处，应用有限差分法分别计算三个速度模型的波场记录（图）和 、四 个不同时刻的波场快照（图），通过图不同时地 球 物 理 学 报（）卷图（）四个不同时刻的海面起伏状态；
16、（）处方向上所有点位的起伏变化图示 （）（）刻所示的波场记录可以看出，当海平面为水平界面时，整个底层反射波的波场记录非常平滑，没有任何的瑕疵，但当海面发生起伏时，能量传播过程中发生的经由海面二次反射的波受到了海面起伏状态的影响，产生了散射和畸变，致使底层水平界面的反射同相轴发生畸变，已非标准的双曲同相轴 从波场快照来看，在 、的波场快照中，波场向下传播经过底层第一个反射面反射向上传播的波还没有到达海面，因此三个速度模型的波场传播保持一致，起伏海面此时并没有对波场产生影响，随着时间的推移，在 和 时，经过底层反射层上传的波再由不同的海面反射后向下传播的过程中，由于海面处于水平状态、冻结起伏状态和冻结起伏状态，经海面反射的波由于界面的起伏不同从而产生散射，致使海面反射的波在向下传播中的波前面产生畸变和散射，其波形随着海面起伏形态的改变而变化纵向上取三种不同界面的第 道地震记录，其对比如图 所示 从第 道的振幅对比图可以看出，由于海面的起伏状态不同，三种不同界面模型波场记录在第 道处具有明显的振幅差异 静止时刻起伏界面在第 道的振幅同水平界面振幅的绝对误差如图 所示，静止时刻起伏界面在第 道
